Задание №25 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 47^\circ$ и $\angle D = 43^\circ$. Обозначим середины сторон: $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$, $K$ — середина $BC$, $P$ — середина $AD$.

1) Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции. По свойству средней линии: $MN = \frac{BC + AD}{2}$. По условию один из отрезков равен 16, а другой 14. Средняя линия всегда больше или равна отрезку, соединяющему середины оснований (в случае непараллельных боковых сторон). Предположим, что $MN = 16$. Тогда: $\frac{BC + AD}{2} = 16 \Rightarrow BC + AD = 32$.

2) Рассмотрим отрезок $KP$, соединяющий середины оснований. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. В треугольнике $ASD$ сумма углов при основании $AD$ равна $47^\circ + 43^\circ = 90^\circ$. Следовательно, угол при вершине $S$ равен: $\angle S = 180^\circ - (47^\circ + 43^\circ) = 90^\circ$. Значит, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3) Точка $P$ — середина гипотенузы $AD$ в прямоугольном треугольнике $ASD$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе: $SP = \frac{1}{2} AD$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BSC$ (так как $BC \parallel AD$, углы при $B$ и $C$ также дают в сумме $90^\circ$) точка $K$ — середина гипотенузы $BC$. Значит: $SK = \frac{1}{2} BC$.

4) Точки $S$, $K$ и $P$ лежат на одной прямой, так как медианы подобных треугольников, выходящие из одной вершины, лежат на одной линии. Тогда длина отрезка $KP$ равна разности медиан: $KP = SP - SK = \frac{1}{2} AD - \frac{1}{2} BC = \frac{AD - BC}{2}$. По условию этот отрезок равен 14. Получаем уравнение: $\frac{AD - BC}{2} = 14 \Rightarrow AD - BC = 28$.

5) Составим и решим систему уравнений: $\begin{cases} AD + BC = 32 \\ AD - BC = 28 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 60 \Rightarrow AD = 30$. Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 4 \Rightarrow BC = 2$.

Проверка: если бы мы приняли $MN = 14$ и $KP = 16$, то разность оснований была бы больше их суммы ($AD - BC = 32$, а $AD + BC = 28$), что невозможно. Значит, наш выбор верен.

Ответ: 2; 30.

Источник: ФИПИ