Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю:
$-1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Это значит, что на графике будет «выколотая» точка с абсциссой $x = -1$.

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в знаменателе можно вынести минус за скобки: $-1 - x = -(x + 1)$.
Тогда функция примет вид:
$y = \frac{(x^2 + 6,25)(x + 1)}{-(x + 1)}$.
Сократим дробь на $(x + 1)$, учитывая условие $x \neq -1$:
$y = -(x^2 + 6,25)$ или $y = -x^2 - 6,25$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -x^2 - 6,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; -6,25)$.
Найдём координаты «выколотой» точки. Подставим $x = -1$ в упрощённое уравнение:
$y(-1) = -(-1)^2 - 6,25 = -1 - 6,25 = -7,25$.
Таким образом, точка $(-1; -7,25)$ не принадлежит графику.

4. Анализ количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие $k$, при которых эта прямая имеет с параболой ровно одну общую точку.
Это возможно в двух случаях:

Случай А: Прямая касается параболы.
Составим уравнение: $kx = -x^2 - 6,25$.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 6,25 = 0$.
Квадратное уравнение имеет ровно один корень (точка касания), когда его дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6,25 = k^2 - 25$.
$k^2 - 25 = 0 \Rightarrow k^2 = 25 \Rightarrow k = 5$ или $k = -5$.

Случай Б: Прямая проходит через «выколотую» точку $(-1; -7,25)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (выколотая) не считается. Значит, общая точка будет ровно одна.
Подставим координаты точки $(-1; -7,25)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$-7,25 = k \cdot (-1)$
$k = 7,25$.

Итог: Условию задачи удовлетворяют значения $k = -5$, $k = 5$ и $k = 7,25$.

Ответ: -5; 5; 7,25.

Источник: ФИПИ