Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$.
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна:
$\angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180^\circ$.
Подставим значения: $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \angle AKB = 180^\circ$.
$\frac{1}{2} (\angle A + \angle B) + \angle AKB = 180^\circ$.
$\frac{1}{2} \cdot 180^\circ + \angle AKB = 180^\circ$, откуда $90^\circ + \angle AKB = 180^\circ$, то есть $\angle AKB = 90^\circ$. Треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3. Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH$ — перпендикуляр к стороне $AB$, $KM$ — перпендикуляр к стороне $BC$, а $KN$ — перпендикуляр к стороне $AD$.
По условию расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $1$, то есть $KH = 1$.

4. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$. Следовательно, $KM = KH = 1$.

5. Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$. Значит, она равноудалена от сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $KN = KH = 1$.

6. Высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $BC$ (или $AD$), представляет собой отрезок $MN$, так как $KM \perp BC$ и $KN \perp AD$, а $BC \parallel AD$. Точки $M, K, N$ лежат на одной прямой.
Тогда высота $h = MN = MK + KN = 1 + 1 = 2$.

7. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Нам известна сторона $BC = 18$ и найденная высота $h = 2$.
$S = 18 \cdot 2 = 36$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ