Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Это значит, что на графике в точке с абсциссой $x = 1$ будет «выколотая» точка.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $x$ в числителе:
$y = \frac{x(x - 1) \cdot |x|}{x - 1}$.
При условии $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$y = x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
— Если $x \geq 0$ (и учитывая $x \neq 1$), то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$.
— Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Таким образом, график представляет собой часть параболы $y = x^2$ при $x \geq 0$ (с выколотой точкой) и часть параболы $y = -x^2$ при $x < 0$.

4. Координаты выколотой точки.
Подставим $x = 1$ в упрощенное выражение $y = x^2$:
$y = 1^2 = 1$.
Значит, точка с координатами $(1; 1)$ не принадлежит графику.

5. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
— При $m < 0$ прямая пересекает ветвь параболы $y = -x^2$ в одной точке.
— При $m = 0$ прямая проходит через начало координат $(0; 0)$, то есть имеет одну общую точку.
— При $m > 0$ прямая пересекает ветвь параболы $y = x^2$. Однако в точке $(1; 1)$ график прерывается (точка выколота).
Следовательно, если прямая $y = m$ проходит ровно через выколотую точку, то общих точек с графиком не будет. Это происходит при $m = 1$.

Других разрывов или ограничений по оси $y$ у данной функции нет, поэтому $m = 1$ — единственное искомое значение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ