Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.
Точка с абсциссой $-4$ будет «выколотой» на графике.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,5x$ в числителе:
$y = \frac{0,5x(x + 4) \cdot |x|}{x + 4}$.
При $x \neq -4$ мы можем сократить дробь на $(x + 4)$:
$y = 0,5x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
— Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$ (и $x \neq -4$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Координаты «выколотой» точки.
Подставим $x = -4$ в упрощенное выражение для отрицательных значений $x$:
$y = -0,5 \cdot (-4)^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$.
Значит, точка с координатами $(-4; -8)$ отсутствует на графике.

5. Построение графика.
График состоит из части параболы $y = 0,5x^2$ при $x \geq 0$ и части параболы $y = -0,5x^2$ при $x < 0$, за исключением точки $(-4; -8)$.
— При $x = 0$, $y = 0$.
— При $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 4 = 2$.
— При $x = -2$, $y = -0,5 \cdot 4 = -2$.

6. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком в двух случаях:
1) Если прямая проходит через «выколотую» точку. Это происходит при $m = -8$.
2) Если бы график имел разрывы или асимптоты, но в данном случае график непрерывен везде, кроме точки $(-4; -8)$.
Заметим, что значение $y = -8$ достигается только в выколотой точке (так как функция $y = -0,5x^2$ монотонно убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, каждое значение $y$ принимается только один раз). Следовательно, при $m = -8$ пересечений нет.

Ответ: -8

Источник: ФИПИ