Задание №25 — Геометрия

#48302Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Четырёхугольник $A B C D$ со сторонами $A B = 5$ и $C D = 17$ вписан
в окружность. Диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $K$ ,
причём $\angle A K B = 60 °$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$ . Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$ . Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как опираются на дугу $AD$ . Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$ .
Подставим известные значения сторон: $\frac{5}{17} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$ .
Отсюда можно выразить: $DK = \frac{17}{5} AK$ и $CK = \frac{17}{5} BK$ .

3. Рассмотрим треугольник $BKC$ . Угол $BKC$ смежный с углом $AKB$ , поэтому $\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

4. Применим теорему косинусов для треугольника $BKC$ :
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$ .
Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$ , получаем:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 + BK \cdot CK$ .

5. Теперь рассмотрим треугольник $AKD$ . Угол $AKD$ вертикальный углу $BKC$ , значит $\angle AKD = 120^\circ$ . Применим теорему косинусов для треугольника $AKD$ :
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^\circ) = AK^2 + DK^2 + AK \cdot DK$ .

6. Подставим в выражения для $BC^2$ и $AD^2$ зависимости из пункта 2:
$BC^2 = BK^2 + (\frac{17}{5} BK)^2 + BK \cdot \frac{17}{5} BK = BK^2 (1 + \frac{289}{25} + \frac{17}{5}) = BK^2 (\frac{25 + 289 + 85}{25}) = \frac{399}{25} BK^2$ .
$AD^2 = AK^2 + (\frac{17}{5} AK)^2 + AK \cdot \frac{17}{5} AK = AK^2 (1 + \frac{289}{25} + \frac{17}{5}) = \frac{399}{25} AK^2$ .

7. Заметим, что по теореме синусов для треугольника $ABC$ радиус описанной окружности $R$ равен:
$R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BAC)}$ .
Из треугольника $ABK$ по теореме синусов: $\frac{BK}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle AKB)}$ .
Отсюда $\sin(\angle BAC) = \frac{BK \cdot \sin(60^\circ)}{AB} = \frac{BK \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 5} = \frac{BK \sqrt{3}}{10}$ .

8. Подставим значение $BC = \sqrt{\frac{399}{25} BK^2} = \frac{BK \sqrt{399}}{5}$ и значение синуса в формулу радиуса:
$R = \frac{\frac{BK \sqrt{399}}{5}}{2 \cdot \frac{BK \sqrt{3}}{10}} = \frac{BK \sqrt{399}}{5} \cdot \frac{5}{BK \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{399}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{399}{3}} = \sqrt{133}$ .

Ответ: $\sqrt{133}$

Источник: ФИПИ