Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| - |x| - 3x$ раскроем модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Случай $x \ge 0$:
Тогда $|x| = x$, и
$y = x \cdot x - x - 3x = x^2 - 4x$.
Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина: $x_0 = \frac{4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 = -4$, то есть $(2; -4)$. При $x \ge 0$ правая часть проходит через точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$, от $(0;0)$ опускается к вершине $(2;-4)$ и уходит вверх.

2. Случай $x < 0$:
Тогда $|x| = -x$, и
$y = x \cdot (-x) - (-x) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$.
Это часть параболы с ветвями вниз. Вершина: $x_0 = \frac{-2}{2} = -1$, $y_0 = -1 + 2 = 1$, то есть $(-1; 1)$. При $x < 0$ левая часть проходит через $(-2; 0)$, поднимается к вершине $(-1; 1)$ и, приближаясь к $x = 0$, стремится к $y = 0$; при $x \to -\infty$ уходит вниз к $-\infty$.

В точке $x = 0$ обе части дают $y = 0$, график непрерывен и проходит через начало координат.

3. Число общих точек с прямой $y = m$.
Подсчитаем пересечения горизонтальной прямой отдельно с левой и правой частями:
— При $m < -4$: правая часть $x^2 - 4x = m$ корней не имеет, левая даёт 1 точку. Итого 1.
— При $m = -4$: прямая касается вершины правой параболы $(2; -4)$ — 1 точка, и пересекает левую часть в 1 точке. Итого 2.
— При $-4 < m < 0$: правая часть даёт 2 точки, левая — 1. Итого 3.
— При $m = 0$: правая часть проходит через $(0; 0)$ и $(4; 0)$ — 2 точки, левая через $(-2; 0)$ — 1 точка. Итого 3, а не две.
— При $0 < m < 1$: правая часть даёт 1 точку, левая — 2. Итого 3.
— При $m = 1$: прямая касается вершины левой параболы $(-1; 1)$ — 1 точка, и пересекает правую часть в 1 точке. Итого 2.
— При $m > 1$: левая часть корней не имеет, правая даёт 1 точку. Итого 1.

Ровно две общие точки график и прямая имеют только при $m = -4$ и $m = 1$.

Ответ: -4; 1.