Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -1$ функция имеет вид $y = x^2 - 4x + 4$.
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата разности: $y = (x - 2)^2$.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2; 0)$.
Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -1$, $y = (-1 - 2)^2 = 9$. Точка $(-1; 9)$ принадлежит графику.
Дополнительные точки для построения: при $x = 0$, $y = 4$; при $x = 1$, $y = 1$; при $x = 3$, $y = 1$; при $x = 4$, $y = 4$.

2) На промежутке $x < -1$ функция имеет вид $y = -\frac{9}{x}$.
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти (так как $x < 0$).
Найдём значение, к которому стремится функция на границе: при $x \to -1$, $y \to -\frac{9}{-1} = 9$. Точка $(-1; 9)$ является "выколотой" для этой части графика, но так как она закрашена для первой части, график получается непрерывным.
Дополнительные точки: при $x = -3$, $y = 3$; при $x = -9$, $y = 1$.

3) Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная линия) имеет с графиком одну или две общие точки.
Проанализируем количество пересечений при различных значениях $m$:
— При $m < 0$: прямая проходит ниже графика, общих точек нет.
— При $m = 0$: прямая касается вершины параболы в точке $(2; 0)$. Имеется одна общая точка.
— При $0 < m < 9$: прямая пересекает ветвь гиперболы (один раз) и две ветви параболы (два раза). Итого 3 точки.
— При $m = 9$: прямая проходит через точку стыка $(-1; 9)$ и пересекает правую ветвь параболы. Итого две общие точки.
— При $m > 9$: прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как гипербола при $x < -1$ всегда ниже $y = 9$, а левая ветвь параболы ограничена точкой $x = -1$). Итого одна общая точка.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$ и при $m \geq 9$.

Ответ: $m = 0$; $m \geq 9$.

Источник: ФИПИ