Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразование выражения.
Для начала упростим формулу функции, предварительно найдя её область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| - x^2 \neq 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение принимает вид: $|x| - |x|^2 \neq 0$, то есть $|x|(1 - |x|) \neq 0$.
Отсюда $|x| \neq 0$ и $|x| \neq 1$. Значит, $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Теперь упростим саму дробь:
$y = \frac{|x| - 1}{|x| - |x|^2} = \frac{|x| - 1}{|x|(1 - |x|)} = \frac{|x| - 1}{-|x|(|x| - 1)}$.
Сократив на $(|x| - 1)$ при условии $|x| \neq 1$, получаем:
$y = -\frac{1}{|x|}$.

2. Построение графика.
График функции $y = -\frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гипербол:
— При $x > 0$ (с учётом области определения $x \neq 1$): $y = -\frac{1}{x}$.
— При $x < 0$ (с учётом области определения $x \neq -1$): $y = \frac{1}{x}$.
График симметричен относительно оси $Oy$. На графике будут "выколоты" две точки с абсциссами $x = 1$ и $x = -1$.
Найдём их ординаты:
Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
Если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{|-1|} = -1$. Точка $(-1; -1)$.

3. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$.
Прямая не будет иметь общих точек с графиком в следующих случаях:
— Если прямая проходит через "выколотые" точки $(1; -1)$ и $(-1; -1)$.
Для точки $(1; -1)$: $-1 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -1$.
Для точки $(-1; -1)$: $-1 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = 1$.
— Если прямая не пересекает ветви гиперболы.
Заметим, что ветви гиперболы $y = -\frac{1}{|x|}$ всегда лежат ниже оси $Ox$ (так как $|x| > 0$, то $-\frac{1}{|x|} < 0$).
Прямая $y = kx$ при $k = 0$ совпадает с осью $Ox$, которая является горизонтальной асимптотой и не имеет общих точек с графиком.
При любых других значениях $k$, кроме найденных $k = 1$ и $k = -1$, прямая, проходящая через начало координат, обязательно пересечёт одну из ветвей гиперболы, так как гипербола уходит в бесконечность вдоль оси $Oy$, а прямая пересекает все четверти (кроме случая $k=0$).

Таким образом, прямая не имеет общих точек при $k = -1$, $k = 0$ и $k = 1$.

Ответ: -1; 0; 1.

Источник: ФИПИ