Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразование функции.
Для начала упростим выражение функции $y = \frac{4|x| - 1}{|x| - 4x^{2}}$.
Заметим, что $x^{2} = |x|^{2}$. Тогда знаменатель можно переписать в виде: $|x| - 4|x|^{2} = |x|(1 - 4|x|)$.
Функция принимает вид: $y = \frac{4|x| - 1}{|x|(1 - 4|x|)}$.
Вынесем минус в числителе: $y = \frac{-(1 - 4|x|)}{|x|(1 - 4|x|)}$.

2. Область определения.
Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$;
$1 - 4|x| \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{4} \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$ и $x \neq -\frac{1}{4}$.
При этих условиях мы можем сократить дробь на $(1 - 4|x|)$. Получаем:
$y = -\frac{1}{|x|}$, где $x \neq \pm 0,25$ и $x \neq 0$.

3. Построение графика.
График функции $y = -\frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гипербол:
— При $x > 0$ это $y = -\frac{1}{x}$ (четвёртая четверть);
— При $x < 0$ это $y = \frac{1}{x}$ (третья четверть).
График симметричен относительно оси $Oy$.
Найдём координаты "выколотых" точек:
Если $x = 0,25$, то $y = -\frac{1}{0,25} = -4$. Точка $(0,25; -4)$.
Если $x = -0,25$, то $y = -\frac{1}{|-0,25|} = -4$. Точка $(-0,25; -4)$.

4. Поиск значений $k$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она не будет иметь общих точек с графиком в следующих случаях:
— Если прямая проходит через "выколотые" точки.
— Если прямая не пересекает ветви гипербол (вертикальная асимптота $x=0$ уже исключена из ОДЗ, а горизонтальная асимптота $y=0$ не может быть представлена в виде $y=kx$ при $x \neq 0$, кроме случая $k=0$).

Случай 1: Прямая проходит через точку $(0,25; -4)$.
$-4 = k \cdot 0,25 \Rightarrow k = -4 : 0,25 \Rightarrow k = -16$.
Случай 2: Прямая проходит через точку $(-0,25; -4)$.
$-4 = k \cdot (-0,25) \Rightarrow k = -4 : (-0,25) \Rightarrow k = 16$.
Случай 3: Прямая не пересекает график $y = -\frac{1}{|x|}$.
Рассмотрим уравнение $kx = -\frac{1}{|x|}$.
Если $x > 0$, то $kx = -\frac{1}{x} \Rightarrow kx^{2} = -1$. Это уравнение не имеет корней, если $k \geq 0$.
Если $x < 0$, то $kx = \frac{1}{x} \Rightarrow kx^{2} = 1$. Это уравнение не имеет корней, если $k \leq 0$.
Объединяя эти условия, получаем, что при $k = 0$ прямая $y = 0$ (ось $Ox$) не имеет общих точек с графиком (так как график к ней только приближается).

Таким образом, искомые значения $k$: $-16$; $0$; $16$.

Ответ: -16; 0; 16.

Источник: ФИПИ