Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$7x^2 - 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(7x - 5) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $7x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{5}{7}$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{5}{7}) \cup (\frac{5}{7}; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = \frac{7x - 5}{x(7x - 5)}$
При условии $x \neq \frac{5}{7}$ мы можем сократить на выражение $(7x - 5)$:
$y = \frac{1}{x}$
Следовательно, графиком данной функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной «выколотой» точкой.

3. Координаты «выколотой» точки.
Найдём значение $y$ при $x = \frac{5}{7}$:
$y = \frac{1}{5/7} = \frac{7}{5} = 1,4$.
Точка с координатами $(\frac{5}{7}; 1,4)$ не принадлежит графику.

4. Анализ пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Нам нужно найти такие $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Составим уравнение:
$kx = \frac{1}{x}$
$kx^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{k}$

Рассмотрим возможные случаи:
— Если $k \leq 0$, то уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ не имеет корней (так как квадрат числа не может быть отрицательным или при $k=0$ уравнение $0=1$ неверно). В этом случае общих точек нет.
— Если $k > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это означает, что прямая пересекает гиперболу в двух точках.
— Особый случай: ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из точек пересечения совпадёт с «выколотой» точкой графика или попадет в область, где функция не определена.
Так как $x \neq 0$, прямая не может пересечь график в точке с абсциссой $0$.
Единственный вариант получить одну точку — если одна из точек пересечения прямой и гиперболы имеет абсциссу $x = \frac{5}{7}$.
Подставим $x = \frac{5}{7}$ и $y = 1,4$ в уравнение прямой $y = kx$:
$1,4 = k \cdot \frac{5}{7}$
$\frac{7}{5} = k \cdot \frac{5}{7}$
$k = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49}{25} = 1,96$.

При $k = 1,96$ прямая пересекает гиперболу в двух точках, но одна из них ($x = \frac{5}{7}$) исключена из области определения, поэтому остается ровно одна общая точка.

Ответ: 1,96

Источник: ФИПИ