Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана тремя формулами на разных промежутках:
$y = x - 0{,}5$ при $x < -2$;
$y = -2x - 6{,}5$ при $-2 \le x \le -1$;
$y = x - 3{,}5$ при $x > -1$.
Построим каждую часть.

1. Часть $x < -2$: $y = x - 0{,}5$.
Это луч с угловым коэффициентом $1$. При $x \to -2$ слева $y \to -2 - 0{,}5 = -2{,}5$ (точка $(-2; -2{,}5)$ — граничная), при $x \to -\infty$ луч уходит вниз.

2. Часть $-2 \le x \le -1$: $y = -2x - 6{,}5$.
Отрезок с угловым коэффициентом $-2$. При $x = -2$: $y = 4 - 6{,}5 = -2{,}5$; при $x = -1$: $y = 2 - 6{,}5 = -4{,}5$. Значит, отрезок соединяет точки $(-2; -2{,}5)$ и $(-1; -4{,}5)$.

3. Часть $x > -1$: $y = x - 3{,}5$.
Луч с угловым коэффициентом $1$. При $x \to -1$ справа $y \to -1 - 3{,}5 = -4{,}5$; дальше луч уходит вверх.

В точке $x = -2$ значения первой и второй частей совпадают ($-2{,}5$), в точке $x = -1$ — второй и третьей ($-4{,}5$), поэтому график непрерывен. При этом в точке $(-2; -2{,}5)$ угловой коэффициент меняется с $+1$ на $-2$ — это локальный максимум, а в точке $(-1; -4{,}5)$ — с $-2$ на $+1$ — локальный минимум.

4. Число общих точек с прямой $y = m$.
— При $m > -2{,}5$: прямую пересекает только правый луч ($x > -1$). Итого 1.
— При $m = -2{,}5$: прямая проходит через вершину-максимум $(-2; -2{,}5)$ и пересекает правый луч в точке $(1; -2{,}5)$. Итого 2.
— При $-4{,}5 < m < -2{,}5$: прямую пересекают все три части — левый луч, средний отрезок и правый луч. Итого 3.
— При $m = -4{,}5$: прямая проходит через вершину-минимум $(-1; -4{,}5)$ и пересекает левый луч в точке $(-4; -4{,}5)$. Итого 2.
— При $m < -4{,}5$: прямую пересекает только левый луч. Итого 1.

Ровно две общие точки прямая $y = m$ имеет при $m = -2{,}5$ и $m = -4{,}5$.

Ответ: -4,5; -2,5.