Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала преобразуем выражение, задающее функцию, и определим её область определения.

Шаг 1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя:
$x^{2} + 2x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 2) \neq 0$
Отсюда получаем два условия: $x \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.
Значит, область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$ и $x = -2$.

Шаг 2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = 3 - \frac{x + 2}{x(x + 2)}$
При условии $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:
$y = 3 - \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ везде, кроме точки с абсциссой $x = -2$.

Шаг 3. Построение графика.
Графиком функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ является гипербола, полученная из стандартной гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ путём сдвига вверх на $3$ единицы. У этой гиперболы есть две асимптоты: вертикальная $x = 0$ (ось $Oy$) и горизонтальная $y = 3$.
Найдём координаты "выколотой" точки. Подставим $x = -2$ в упрощённое уравнение:
$y(-2) = 3 - \frac{1}{-2} = 3 + 0,5 = 3,5$.
Точка $(-2; 3,5)$ будет отсутствовать на графике.

Шаг 4. Определение значений $m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая проходит через "выколотую" точку. Это происходит при $m = 3,5$.
2) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. Гипербола $y = 3 - \frac{1}{x}$ никогда не принимает значение $3$, так как дробь $\frac{1}{x}$ никогда не равна нулю. Значит, при $m = 3$ общих точек нет.

Следовательно, искомые значения $m$ — это $3$ и $3,5$.

Ответ: 3; 3,5

Источник: ФИПИ