Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$. По условию задачи $BO : OH = 25 : 24$.

2) Рассмотрим треугольник $ABH$. В нём отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$, так как точка $O$ лежит на биссектрисе $AL$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{25}{24}$.

3) Пусть $AB = 25x$, тогда $AH = 24x$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным (так как $BH$ — высота). По теореме Пифагора найдём $BH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (25x)^2 - (24x)^2 = 625x^2 - 576x^2 = 49x^2$.
Отсюда $BH = 7x$.

4) Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{7x}{25x} = \frac{7}{25}$.

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 14$ и $\sin A = \frac{7}{25}$:
$2R = \frac{14}{7/25} = 14 \cdot \frac{25}{7} = 2 \cdot 25 = 50$.

6) Найдём радиус:
$R = \frac{50}{2} = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ