Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B$ , в отношении $25 : 24$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если $B C = 14$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$ , проведённая к стороне $AC$ . Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ . Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$ . По условию задачи $BO : OH = 25 : 24$ .

2) Рассмотрим треугольник $ABH$ . В нём отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ , так как точка $O$ лежит на биссектрисе $AL$ . По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{25}{24}$ .

3) Пусть $AB = 25x$ , тогда $AH = 24x$ . Треугольник $ABH$ является прямоугольным (так как $BH$ — высота). По теореме Пифагора найдём $BH$ :
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (25x)^2 - (24x)^2 = 625x^2 - 576x^2 = 49x^2$ .
Отсюда $BH = 7x$ .

4) Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$ :
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{7x}{25x} = \frac{7}{25}$ .

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$ :
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ , где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 14$ и $\sin A = \frac{7}{25}$ :
$2R = \frac{14}{7/25} = 14 \cdot \frac{25}{7} = 2 \cdot 25 = 50$ .

6) Найдём радиус:
$R = \frac{50}{2} = 25$ .

Ответ: 25

Источник: ФИПИ