Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Вынесем $x$ за скобки в знаменателе:
$x^2 + 5x \neq 0$
$x(x + 5) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$.
Область определения: все числа, кроме $0$ и $-5$.

2. Упростим выражение функции на её области определения. Сократим дробь:
$y = 5 - \frac{x + 5}{x(x + 5)}$
Так как $x \neq -5$, мы можем сократить на $(x + 5)$:
$y = 5 - \frac{1}{x}$

3. Графиком функции $y = 5 - \frac{1}{x}$ является гипербола $y = -\frac{1}{x}$, поднятая на $5$ единиц вверх вдоль оси $Oy$.
Построим этот график, учитывая "выколотые" точки:
— При $x \to 0$ график неограниченно приближается к вертикальной асимптоте $x = 0$ (ось $Oy$).
— При $x \to \infty$ график неограниченно приближается к горизонтальной асимптоте $y = 5$.
— Найдём координату $y$ для "выколотой" точки при $x = -5$:
$y(-5) = 5 - \frac{1}{-5} = 5 + 0,2 = 5,2$.
Таким образом, на графике будет отсутствовать точка с координатами $(-5; 5,2)$.

4. Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не пересекает график функции.
Это происходит в двух случаях:
— Когда прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. У нашей функции это прямая $y = 5$. Значит, при $m = 5$ общих точек нет.
— Когда прямая проходит через "выколотую" точку графика. Мы нашли, что при $x = -5$ значение функции должно было быть $5,2$, но эта точка исключена из области определения. Значит, при $m = 5,2$ прямая не встретит график.

Ответ: 5; 5,2

Источник: ФИПИ