Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x - 2$ меняет знак в точке $x = 2$.

1. Рассмотрим случай $x \ge 2$:
В этом случае $|x - 2| = x - 2$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 5(x - 2) - x^2 + 5x - 6$
$y = 5x - 10 - x^2 + 5x - 6$
$y = -x^2 + 10x - 16$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = 5$
$y_0 = -(5)^2 + 10 \cdot 5 - 16 = -25 + 50 - 16 = 9$
Вершина параболы — точка $(5; 9)$.
При $x = 2$: $y = -(2)^2 + 10 \cdot 2 - 16 = -4 + 20 - 16 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x < 2$:
В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Подставим в уравнение:
$y = 5(2 - x) - x^2 + 5x - 6$
$y = 10 - 5x - x^2 + 5x - 6$
$y = -x^2 + 4$
Это парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветви которой направлены вниз.
При $x = 2$: $y = -(2)^2 + 4 = 0$.
Заметим, что в точке $x = 2$ обе части графика стыкуются.

3. Построение графика:
График состоит из двух частей парабол:
— Слева от $x = 2$ (включая саму точку) рисуем часть параболы $y = -x^2 + 4$. Она проходит через точки $(0; 4)$, $(-2; 0)$ и заканчивается в точке $(2; 0)$.
— Справа от $x = 2$ рисуем часть параболы $y = -x^2 + 10x - 16$. Она начинается в точке $(2; 0)$, имеет вершину в $(5; 9)$ и уходит вниз (проходя, например, через точку $(8; 0)$).

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в трех точках.
— При $m < 0$ прямая пересекает график в двух точках (ветви парабол уходят в $-\infty$).
— При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(2; 0)$ и пересекает две другие ветви. Итого: 3 точки (это значения $x = -2$, $x = 2$, $x = 8$).
— При $0 < m < 4$ прямая пересекает график в четырех точках.
— При $m = 4$ прямая проходит через вершину левой параболы $(0; 4)$. Она пересекает левую параболу в одной точке (вершине) и правую параболу в двух точках. Итого: 3 точки.
— При $4 < m < 9$ прямая пересекает только правую параболу в двух точках.
— При $m = 9$ прямая касается вершины правой параболы (1 точка).
— При $m > 9$ точек пересечения нет.

Таким образом, ровно три общие точки наблюдаются при $m = 0$ и $m = 4$.

Ответ: 0; 4

Источник: ФИПИ