Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как опираются на дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$.
Подставим известные значения сторон: $\frac{43}{4} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$.
Отсюда выразим стороны: $AK = \frac{43}{4} DK$ и $BK = \frac{43}{4} CK$.

3) Рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ смежный с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $BKC$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$.
Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 + BK \cdot CK$.

4) Рассмотрим треугольник $AKD$. Угол $AKD$ вертикальный с углом $BKC$, значит $\angle AKD = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $AKD$:
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^\circ) = AK^2 + DK^2 + AK \cdot DK$.
Подставим выражения через $DK$ и $CK$:
$AD^2 = (\frac{43}{4} DK)^2 + DK^2 + \frac{43}{4} DK^2 = DK^2 \cdot ((\frac{43}{4})^2 + 1 + \frac{43}{4})$.
Заметим, что $AD^2 = (\frac{43}{4})^2 \cdot (DK^2 + (\frac{4}{43} DK)^2 + \frac{4}{43} DK^2) = (\frac{43}{4})^2 \cdot BC^2$.
Следовательно, $AD = \frac{43}{4} BC$.

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$, вписанного в окружность радиуса $R$:
$2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$.
Для треугольника $ABD$:
$2R = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}$.
В треугольнике $AKB$ сумма углов равна $180^\circ$, значит $\angle BAC + \angle ABD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Пусть $\angle BAC = \alpha$, тогда $\angle ABD = 120^\circ - \alpha$.

6) Воспользуемся обобщенной теоремой синусов в треугольниках $ABC$ и $ADC$. Однако проще применить теорему синусов к треугольнику $AKB$:
$\frac{AB}{\sin(60^\circ)} = \frac{AK}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BK}{\sin(\angle BAC)}$.
Отсюда $AK = \frac{AB \cdot \sin(120^\circ - \alpha)}{\sin(60^\circ)}$ и $BK = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin(60^\circ)}$.
Используя свойства вписанных углов и теорему синусов для всей окружности:
$CD = 2R \cdot \sin(\angle CAD)$ и $AB = 2R \cdot \sin(\angle ACB)$.
Существует изящное свойство: в любом вписанном четырехугольнике с углом между диагоналями $\gamma$, выполняется соотношение $AB^2 + CD^2 - 2AB \cdot CD \cdot \cos(\gamma) = (2R \cdot \sin \gamma)^2$.
В нашем случае $\gamma = 60^\circ$:
$43^2 + 4^2 - 2 \cdot 43 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = (2R \cdot \sin 60^\circ)^2$.
$1849 + 16 - 2 \cdot 43 \cdot 4 \cdot 0,5 = (2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
$1865 - 172 = 3R^2$.
$1693 = 3R^2$.
Проверим вычисления: $43^2 = 1849$. $1849 + 16 - 172 = 1693$.
Заметим, что в условии $AB = 43$ и $CD = 4$. Если применить формулу $R^2 = \frac{AB^2 + CD^2 + AB \cdot CD}{3}$ (для угла $120^\circ$ между соответствующими хордами), получим:
$3R^2 = 43^2 + 4^2 + 43 \cdot 4 = 1849 + 16 + 172 = 2037$.
$R^2 = \frac{2037}{3} = 679$.
Вернемся к стандартному методу: $BC = 2R \sin \alpha$, $AD = 2R \sin \beta$.
В треугольнике $AKB$: $AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 AK \cdot BK \cos 60^\circ$.
В треугольнике $CKD$: $CD^2 = CK^2 + DK^2 - 2 CK \cdot DK \cos 60^\circ$.
Используя подобие и свойства хорд, итоговая формула для радиуса:
$R^2 = \frac{AB^2 + CD^2 + AB \cdot CD \cdot 2 \cos(180-60)}{4 \sin^2 60} = \frac{43^2 + 4^2 + 43 \cdot 4}{3} = \frac{1849 + 16 + 172}{3} = \frac{2037}{3} = 679$.
$R = \sqrt{679}$.

Ответ: $\sqrt{679}$

Источник: ФИПИ