Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для того чтобы построить график функции $y = |x|(x + 2) - 5x$, необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = x(x + 2) - 5x = x^2 + 2x - 5x = x^2 - 3x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1,5$;
$y_0 = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$.
Вершина: $(1,5; -2,25)$. Дополнительные точки: $(0; 0)$, $(3; 0)$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = -x(x + 2) - 5x = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3,5$;
$y_0 = -(-3,5)^2 - 7 \cdot (-3,5) = -12,25 + 24,5 = 12,25$.
Вершина: $(-3,5; 12,25)$. Дополнительные точки: $(0; 0)$, $(-7; 0)$.

Объединив эти части, мы получаем непрерывный график, состоящий из двух кусков парабол, соединяющихся в точке $(0; 0)$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Анализируя график, видим следующее:
— При $m > 12,25$ прямая пересекает только правую ветвь (1 точка).
— При $m = 12,25$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь (ровно 2 точки).
— При $-2,25 < m < 12,25$ прямая пересекает график в 3 точках.
— При $m = -2,25$ прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь (ровно 2 точки).
— При $m < -2,25$ прямая пересекает только левую ветвь (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки будут при $m = -2,25$ и $m = 12,25$.

Ответ: -2,25; 12,25

Источник: ФИПИ