Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 8 : 2 = 4$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Пусть эта прямая пересекает боковую сторону $CD$ в точке $K$. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

2) По свойству средней линии трапеции точка $K$ является серединой стороны $CD$. Следовательно, $CK = KD = 10 : 2 = 5$. Также по определению средней линии $MK \parallel AD$.

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$ (которая является биссектрисой угла $D$). Угол $KDA$ равен углу $MDK$, так как $DK$ — биссектриса. Угол $MKD$ равен углу $KDA$ как накрест лежащие при $MK \parallel AD$ и секущей $DK$. Значит, в треугольнике $MKD$ углы при основании $DK$ равны: $\angle MDK = \angle MKD$.

4) Следовательно, треугольник $MKD$ — равнобедренный с основанием $DK$, откуда $MK = MD$. Но мы знаем, что $KD = 5$. Однако здесь важно заметить, что $MK = MD$ не дает нам сразу длину $MK$. Посмотрим внимательнее: в треугольнике $MKD$ равны стороны $MK$ и $MD$? Нет, равны стороны, лежащие против равных углов: $MK = MD$. Но нам известно, что $K$ — середина $CD$, значит $KD = 5$. В треугольнике $MKD$ сторона $MK = MD$.

5) Проведём дополнительное построение. Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с продолжением основания $BC$ в точке $E$. Рассмотрим треугольники $BME$ и $AMD$. У них: $AM = MB$ (по условию), $\angle BME = \angle AMD$ (вертикальные), $\angle MBE = \angle MAD$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Значит, $\triangle BME = \triangle AMD$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $BE = AD$ и $ME = MD$.

6) Рассмотрим треугольник $CDE$. В нём отрезок $DK$ является биссектрисой угла $D$. Так как $ME = MD$, то точка $M$ — середина отрезка $DE$. В треугольнике $CDE$ медиана $CM$ (если её провести) нам не нужна, но заметим другое: в треугольнике $CED$ угол $CED$ равен углу $EDA$ (накрест лежащие), а так как $\angle EDA = \angle CDE$, то $\angle CED = \angle CDE$. Значит, треугольник $CED$ — равнобедренный, $CE = CD = 10$.

7) Так как $CE = CB + BE$, а $BE = AD$, то $CE = BC + AD$. Подставим известные значения: $10 = 2 + AD$, откуда $AD = 8$.

8) Теперь мы знаем все стороны трапеции: $AB = 8$, $BC = 2$, $CD = 10$, $AD = 8$. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной? Проверим. Проведём высоты $BH$ и $CF$ из вершин меньшего основания на большее. Пусть $AH = x$. Тогда $FD = AD - BC - x = 8 - 2 - x = 6 - x$.
По теореме Пифагора из треугольников $ABH$ и $DCF$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 8^2 - x^2 = 64 - x^2$
$CF^2 = CD^2 - FD^2 = 10^2 - (6 - x)^2 = 100 - (36 - 12x + x^2) = 64 + 12x - x^2$
Так как $BH = CF$ (высоты трапеции), приравняем выражения:
$64 - x^2 = 64 + 12x - x^2$
$0 = 12x$, следовательно $x = 0$.

9) Так как $x = 0$, то точка $H$ совпадает с точкой $A$. Это означает, что боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, то есть $AB$ и есть высота трапеции $h = 8$.

10) Найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$:
$S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 8 = \frac{10}{2} \cdot 8 = 5 \cdot 8 = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ