Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -5$ функция имеет вид $y = x^2 + 6x + 9$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх.
Заметим, что выражение можно представить в виде полного квадрата: $y = (x + 3)^2$.
Координаты вершины параболы: $x_0 = -3$, $y_0 = (-3 + 3)^2 = 0$. Точка вершины — $(-3; 0)$.
Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -5$, $y = (-5 + 3)^2 = (-2)^2 = 4$.
Дополнительные точки для построения: при $x = -4$, $y = 1$; при $x = -2$, $y = 1$; при $x = -1$, $y = 4$; при $x = 0$, $y = 9$.

2) На промежутке $x < -5$ функция имеет вид $y = -\frac{20}{x}$.
Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k = -20$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвёртой четвертях. Нас интересует только участок при $x < -5$.
Найдём значение функции на границе: при $x = -5$, $y = -\frac{20}{-5} = 4$.
Точка $(-5; 4)$ является общей для обеих частей графика, значит, график непрерывен.
Дополнительные точки: при $x = -10$, $y = 2$; при $x = -20$, $y = 1$. При $x \to -\infty$ значения $y$ стремятся к $0$, но никогда не достигают его.

3) Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком одну или две общие точки.
Проанализируем количество пересечений при различных значениях $m$:
— При $m < 0$: прямая проходит ниже графика, общих точек нет.
— При $m = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$. Она касается вершины параболы в точке $(-3; 0)$ и является асимптотой для гиперболы (не пересекает её). Итого: 1 общая точка.
— При $0 < m < 4$: прямая пересекает ветвь гиперболы один раз и параболу дважды (слева и справа от вершины). Итого: 3 общие точки.
— При $m = 4$: прямая проходит через точку стыка $(-5; 4)$ и пересекает правую ветвь параболы в точке $(-1; 4)$. Итого: 2 общие точки.
— При $m > 4$: прямая пересекает только две ветви параболы. Итого: 2 общие точки.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$ и при $m \geq 4$.

Ответ: $m = 0$; $m \geq 4$.

Источник: ФИПИ