Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Чтобы построить график функции $y = x|x| + |x| - 3x$, раскроем модули. Знак выражения под модулем меняется в точке $x = 0$, рассмотрим два случая.

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x \cdot x + x - 3x = x^2 - 2x$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина $(1; -1)$.
Парабола пересекает ось $Ox$ там, где $x^2 - 2x = 0$, то есть $x = 0$ и $x = 2$. Обе точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$ принадлежат этому куску ($x \geq 0$).

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = x \cdot (-x) + (-x) - 3x = -x^2 - 4x$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$; $y_0 = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) = -4 + 8 = 4$. Вершина $(-2; 4)$.
Этот кусок проходит через точку $(-4; 0)$; точка $(0; 0)$ — стык с первым куском.

Объединяя, получаем непрерывный график, стыкующийся в начале координат $(0; 0)$. При движении слева направо график возрастает от $-\infty$ до максимума $(-2; 4)$, затем убывает (проходя через стык $(0; 0)$) до минимума $(1; -1)$, после чего снова возрастает до $+\infty$. Значит, есть ровно один локальный максимум $y = 4$ и один локальный минимум $y = -1$.

Определим, при каких $m$ горизонтальная прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Рассмотрим движение прямой снизу вверх:
— При $m < -1$ прямая пересекает только левую возрастающую ветвь — 1 точка.
— При $m = -1$ прямая касается минимума $(1; -1)$ и пересекает левую ветвь — ровно 2 точки.
— При $-1 < m < 4$ прямая пересекает график в трёх точках (левая возрастающая ветвь, убывающая средняя часть и правая возрастающая ветвь). В частности, при $m = 0$ это точки $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$ — 3 точки.
— При $m = 4$ прямая касается максимума $(-2; 4)$ и пересекает правую ветвь — ровно 2 точки.
— При $m > 4$ прямая пересекает только правую возрастающую ветвь — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки прямая $y = m$ имеет при $m = -1$ и $m = 4$.

Ответ: -1; 4