Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразование функции.
Для начала упростим выражение функции и найдём её область определения. $y = \frac{3|x| - 1}{|x| - 3x^2}$.
Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда выражение в знаменателе можно переписать так:
$y = \frac{3|x| - 1}{|x| - 3|x|^2}$.
Вынесем $|x|$ за скобки в знаменателе:
$y = \frac{3|x| - 1}{|x|(1 - 3|x|)}$.
Заметим, что числитель и выражение в скобках в знаменателе противоположны по знаку: $(3|x| - 1) = -(1 - 3|x|)$.
Сократим дробь при условии, что знаменатель не равен нулю:
$y = \frac{-(1 - 3|x|)}{|x|(1 - 3|x|)} = -\frac{1}{|x|}$.

2. Область определения.
Функция не определена, если знаменатель исходной дроби равен нулю:
$|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$;
$1 - 3|x| \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{3} \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$ и $x \neq -\frac{1}{3}$.
Таким образом, график функции $y = -\frac{1}{|x|}$ будет иметь две "выколотые" точки с абсциссами $x = \frac{1}{3}$ и $x = -\frac{1}{3}$.

3. Построение графика.
График функции $y = -\frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гипербол:
— При $x > 0$ (с учётом области определения): $y = -\frac{1}{x}$.
— При $x < 0$ (с учётом области определения): $y = \frac{1}{x}$.
График симметричен относительно оси $Oy$.
Найдём ординаты "выколотых" точек:
Если $x = \frac{1}{3}$, то $y = -\frac{1}{1/3} = -3$. Точка $(\frac{1}{3}; -3)$.
Если $x = -\frac{1}{3}$, то $y = -\frac{1}{|-1/3|} = -3$. Точка $(-\frac{1}{3}; -3)$.

4. Анализ прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она не будет иметь общих точек с графиком в следующих случаях:
— Если прямая проходит через "выколотые" точки.
— Если прямая не пересекает ветви гиперболы (в данном случае это вертикальная ось $x=0$, но прямая вида $y=kx$ не может быть вертикальной, или если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой $y=0$).

Случай 1: Прямая проходит через точку $(\frac{1}{3}; -3)$.
$-3 = k \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow k = -9$.
Случай 2: Прямая проходит через точку $(-\frac{1}{3}; -3)$.
$-3 = k \cdot (-\frac{1}{3}) \Rightarrow k = 9$.
Случай 3: Прямая $y = 0 \cdot x$ (ось $Ox$).
При $k = 0$ прямая $y = 0$ не пересекает график $y = -\frac{1}{|x|}$, так как гипербола никогда не достигает значения $y = 0$.

Ответ: -9; 0; 9.

Источник: ФИПИ