Задание №25 — Геометрия

#48320Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $A C$ треугольника $A B C$ на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины $A$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $A B$ , если $cos \angle B A C = \frac{\sqrt{11}}{6}$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Пусть окружность проходит через точки $M$ и $N$ , лежащие на стороне $AC$ , и касается луча $AB$ в некоторой точке $K$ . По условию задачи $AM = 9$ , $AN = 11$ . Точки лежат на одной прямой $AC$ , выходящей из вершины $A$ .

2. Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длин всей секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
Подставим значения: $AK^2 = 9 \cdot 11 = 99$ .
Отсюда $AK = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$ .

3. Рассмотрим треугольник $AKM$ . Нам известны две его стороны $AK = 3\sqrt{11}$ , $AM = 9$ и косинус угла между ними $\cos \angle A = \frac{\sqrt{11}}{6}$ . Найдем сторону $KM$ по теореме косинусов:
$KM^2 = AK^2 + AM^2 - 2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos \angle A$
$KM^2 = 99 + 81 - 2 \cdot 3\sqrt{11} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$
$KM^2 = 180 - \frac{54 \cdot 11}{6} = 180 - 9 \cdot 11 = 180 - 99 = 81$ .
Следовательно, $KM = \sqrt{81} = 9$ .

4. Заметим, что в треугольнике $AKM$ стороны $AM = 9$ и $KM = 9$ , значит, треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle AKM = \angle KAM$ . Обозначим этот угол $\alpha$ . Тогда $\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$ .

5. Угол между касательной $AK$ и хордой $KM$ равен половине дуги $KM$ , которую стягивает эта хорда. С другой стороны, вписанный угол $KNM$ , опирающийся на ту же дугу, также равен её половине. Значит, $\angle KNM = \angle AKM = \alpha$ .

6. Теперь рассмотрим треугольник $KMN$ . В нём нам известна сторона $KM = 9$ и угол $\angle KNM = \alpha$ , причем $\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$ . Чтобы найти радиус $R$ описанной около этого треугольника окружности (которая и является искомой), воспользуемся теоремой синусов:
$2R = \frac{KM}{\sin \alpha}$ .

7. Найдем $\sin \alpha$ , используя основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{11}}{6})^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$ .
Так как угол $\alpha$ — угол треугольника, его синус положителен: $\sin \alpha = \frac{5}{6}$ .

8. Вычисляем радиус:
$2R = \frac{9}{5/6} = \frac{9 \cdot 6}{5} = \frac{54}{5} = 10,8$ .
$R = \frac{10,8}{2} = 5,4$ .

Ответ: 5,4

Источник: ФИПИ