Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = |x^2 - 4x + 3|$. Построение будем проводить в несколько этапов.

1. Рассмотрим вспомогательную квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$).

2. Найдем координаты вершины параболы по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$;
$y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(2; -1)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0; 3)$.
С осью $Ox$: решим уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

4. Построим график итоговой функции $y = |x^2 - 4x + 3|$.
Операция модуля «отражает» часть графика, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично вверх.
— Части параболы, где $y \ge 0$ (при $x \le 1$ и $x \ge 3$), остаются без изменений.
— Часть параболы, где $y < 0$ (интервал $(1; 3)$), зеркально отображается относительно оси $Ox$. Вершина $(2; -1)$ переходит в точку $(2; 1)$.

5. Теперь определим количество общих точек графика с прямой, параллельной оси абсцисс. Такая прямая задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
— Если $c < 0$, общих точек нет (0 точек).
— Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$, имеем 2 точки пересечения ($x=1$ и $x=3$).
— Если $0 < c < 1$, прямая проходит между осью $Ox$ и «поднятой» вершиной. В этом случае прямая пересекает график в 4 точках.
— Если $c = 1$, прямая проходит через точку $(2; 1)$. Имеем 3 точки пересечения.
— Если $c > 1$, прямая пересекает только боковые ветви параболы. Имеем 2 точки пересечения.

Таким образом, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ