Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус $AO$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $AO \perp AK$.

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $BD \parallel AK$.

3) Рассмотрим угол между хордой $AB$ и касательной $AK$. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, которую стягивает хорда: $\angle BAK = \frac{1}{2} \cup AB$.
В то же время, вписанный угол $ACB$ (или $\angle C$) опирается на ту же дугу $AB$, значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$.
Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle ACB$.

4) Так как $BD \parallel AK$, то накрест лежащие углы при пересечении этих прямых секущей $AB$ равны: $\angle ABD = \angle BAK$.
Объединяя это с результатом предыдущего шага, получаем: $\angle ABD = \angle ACB$.

5) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$:
— Угол $\angle A$ у них общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$).

6) Из подобия треугольников составим отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Подставим известные значения сторон $AB = 15$ и $AC = 25$:
$\frac{15}{25} = \frac{AD}{15}$.
Сократим дробь $\frac{15}{25}$ на $5$:
$\frac{3}{5} = \frac{AD}{15}$.
Отсюда находим $AD$:
$AD = \frac{3 \cdot 15}{5} = 3 \cdot 3 = 9$.

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$. Чтобы найти $CD$, нужно из длины всей стороны $AC$ вычесть длину найденного отрезка $AD$:
$CD = AC - AD = 25 - 9 = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ