Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно. Построим график каждой части на соответствующем промежутке.

1. Построение первой части графика: $y = -x^2 - 2x + 3$ при $x \geq -2$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
$y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Вершина находится в точке $(-1; 4)$.
Вычислим значение функции на границе участка: при $x = -2$, $y = -(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$. Точка $(-2; 3)$ закрашена.
Дополнительные точки: при $x = 0$, $y = 3$; при $x = 1$, $y = 0$.

2. Построение второй части графика: $y = -x - 1$ при $x < -2$.
Это луч прямой. Найдем значение функции на границе (хотя точка выколота для этой части, она совпадает с границей первой части):
При $x = -2$, $y = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$.
Так как в первой части при $x = -2$ значение $y = 3$, а во второй $y = 1$, график имеет разрыв в точке $x = -2$.
Возьмем еще одну точку для луча: при $x = -3$, $y = -(-3) - 1 = 2$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
Рассмотрим движение прямой снизу вверх (от $-\infty$ до $+\infty$):
— При $m < 1$: прямая пересекает только луч, то есть 1 точка.
— При $m = 1$: прямая проходит через "пустой" конец луча и пересекает параболу в одной точке. Итого 1 точка.
— При $1 < m < 3$: прямая пересекает и луч, и правую ветвь параболы. Итого 2 точки.
— При $m = 3$: прямая проходит через левый конец параболы $(-2; 3)$, через точку параболы $(0; 3)$ и пересекает луч. Итого 3 точки.
— При $3 < m < 4$: прямая пересекает параболу в двух местах (слева и справа от вершины) и пересекает луч. Итого 3 точки.
— При $m = 4$: прямая касается вершины параболы $(-1; 4)$ и пересекает луч. Итого 2 точки.
— При $m > 4$: прямая пересекает только луч. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $1 < m < 3$ и при $m = 4$.

Ответ: (1; 3), 4

Источник: ФИПИ