Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Упростим выражение. Обозначим $A=\frac{x}{4,5}$, $B=\frac{4,5}{x}$. Тогда $y=\frac{1}{2}\left(|A-B|+A+B\right)=\max(A,B)$, поскольку $\max(A,B)=\frac{1}{2}\left((A+B)+|A-B|\right)$.

Раскроем модуль по определению.

1) Если $\frac{x}{4,5}-\frac{4,5}{x}\ge 0$, то $y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{4,5}-\frac{4,5}{x}+\frac{x}{4,5}+\frac{4,5}{x}\right)=\frac{x}{4,5}$.
Неравенство $\frac{x^2-4,5^2}{4,5x}\ge 0$ даёт $x\in[-4,5;0)\cup[4,5;+\infty)$.

2) Если $\frac{x}{4,5}-\frac{4,5}{x}<0$, то $y=\frac{4,5}{x}$, что выполняется при $x\in(-\infty;-4,5)\cup(0;4,5)$.

Итак, $y=\frac{4,5}{x}$ при $x\in(-\infty;-4,5)\cup(0;4,5)$ и $y=\frac{x}{4,5}$ при $x\in[-4,5;0)\cup[4,5;+\infty)$.

Построим график.
— На $(-\infty;-4,5)$ — ветвь гиперболы $y=\frac{4,5}{x}$: при $x\to-\infty$ $y\to 0^-$, при $x=-4,5$ $y=-1$.
— На $[-4,5;0)$ — отрезок прямой $y=\frac{x}{4,5}$: при $x=-4,5$ $y=-1$, при $x\to 0^-$ $y\to 0^-$.
— На $(0;4,5)$ — ветвь гиперболы $y=\frac{4,5}{x}$: при $x\to 0^+$ $y\to+\infty$, при $x=4,5$ $y=1$.
— На $[4,5;+\infty)$ — луч прямой $y=\frac{x}{4,5}$: при $x=4,5$ $y=1$, далее $y\to+\infty$.

Левая часть графика ($x<0$) — «уголок» (буква V) с вершиной $(-4,5;-1)$; оба его конца стремятся к $0$ снизу, поэтому значения левой части лежат в $[-1;0)$. Правая часть ($x>0$) — «долина» с вершиной $(4,5;1)$, оба конца уходят в $+\infty$, значения лежат в $[1;+\infty)$. Важно: ветвь $\frac{4,5}{x}$ при $x<-4,5$ не опускается ниже $-1$ (она возрастает от $-1$ к $0$), поэтому при $m<-1$ общих точек нет.

Подсчитаем число общих точек с прямой $y=m$:
— при $m<-1$ — нет точек;
— при $m=-1$ — одна точка (вершина левого уголка $(-4,5;-1)$);
— при -1 — при \(m=0 — нет точек;
— при 0 — при \(m=1 — одна точка (вершина правой долины $(4,5;1)$);
— при $m>1$ — две точки (обе на правой части).

Ровно одна общая точка получается при $m=-1$ и $m=1$.

Ответ: $-1;\ 1$