Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как опираются на дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$.
Подставим известные значения сторон: $\frac{25}{16} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$.
Отсюда можно выразить: $AK = \frac{25}{16} DK$ и $BK = \frac{25}{16} CK$.

3) Рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ смежный с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $BKC$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$.
Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 + BK \cdot CK$.

4) Рассмотрим треугольник $AKD$. Угол $AKD$ вертикальный с углом $BKC$, значит $\angle AKD = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $AKD$:
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^\circ) = AK^2 + DK^2 + AK \cdot DK$.
Подставим выражения для $AK$ и $BK$ через $DK$ и $CK$:
$AD^2 = (\frac{25}{16} DK)^2 + DK^2 + \frac{25}{16} DK^2 = DK^2 \cdot (\frac{625}{256} + 1 + \frac{25}{16}) = DK^2 \cdot \frac{625 + 256 + 400}{256} = \frac{1281}{256} DK^2$.

5) Воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника $ABC$. Радиус $R$ описанной окружности равен:
$R = \frac{AB}{2 \sin(\angle ACB)}$.
Из треугольника $BKC$ по теореме синусов: $\frac{BC}{\sin(120^\circ)} = \frac{BK}{\sin(\angle ACB)}$, откуда $\sin(\angle ACB) = \frac{BK \cdot \sin(120^\circ)}{BC}$.
Тогда $R = \frac{AB \cdot BC}{2 \cdot BK \cdot \sin(120^\circ)}$.

6) Существует более изящный способ через теорему синусов для хорд. Заметим, что в любом вписанном четырёхугольнике угол между диагоналями $\alpha$ связан с его сторонами и радиусом формулой:
$AB \cdot CD + BC \cdot AD = 4R^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ — это сложно. Воспользуемся свойством:
В треугольнике $AKB$ по теореме косинусов: $AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 AK \cdot BK \cos(60^\circ) = AK^2 + BK^2 - AK \cdot BK$.
Пусть $AK = 25x, BK = 25y, CK = 16y, DK = 16x$.
Тогда $25^2 = (25x)^2 + (25y)^2 - 25x \cdot 25y \Rightarrow 1 = x^2 + y^2 - xy$.
Сторона $BC$ в треугольнике $BKC$: $BC^2 = (25y)^2 + (16y)^2 - 2 \cdot 25y \cdot 16y \cos(120^\circ) = 625y^2 + 256y^2 + 400y^2 = 1281y^2$.
По теореме синусов для треугольника $ABC$: $2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$.
Из треугольника $AKB$: $\frac{BK}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(60^\circ)} \Rightarrow \sin(\angle BAC) = \frac{BK \sin(60^\circ)}{AB} = \frac{25y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{25} = \frac{y\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $2R = \frac{\sqrt{1281}y}{\frac{y\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{1281}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{427}$.
$R = \sqrt{427}$.

7) Проверим вычисления: $1281 : 3 = 427$. Число 427 не является полным квадратом ($20^2=400, 21^2=441$).

Ответ: $\sqrt{427}$

Источник: ФИПИ