Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как опираются на дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$. Подставим известные значения сторон: $\frac{39}{12} = \frac{13}{4}$. Таким образом, $AK = \frac{13}{4} DK$ и $BK = \frac{13}{4} CK$.

3) Рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ смежный с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $BKC$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$.
Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем: $BC^2 = BK^2 + CK^2 + BK \cdot CK$.

4) Рассмотрим треугольник $AKD$. Угол $AKD$ также смежный с углом $AKB$, значит $\angle AKD = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $AKD$:
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^\circ) = AK^2 + DK^2 + AK \cdot DK$.
Подставим в это выражение $AK = \frac{13}{4} DK$:
$AD^2 = (\frac{13}{4} DK)^2 + DK^2 + \frac{13}{4} DK^2 = \frac{169}{16} DK^2 + \frac{16}{16} DK^2 + \frac{52}{16} DK^2 = \frac{237}{16} DK^2$.

5) Воспользуемся обобщённой теоремой синусов для треугольника $ABC$. Радиус $R$ описанной окружности четырёхугольника совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов: $2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$.
Из треугольника $ABK$ по теореме синусов: $\frac{BK}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle AKB)}$.
Отсюда $\sin(\angle BAC) = \frac{BK \cdot \sin(60^\circ)}{AB}$.
Подставим это в формулу радиуса: $2R = \frac{BC \cdot AB}{BK \cdot \sin(60^\circ)}$, то есть $R = \frac{BC \cdot AB}{2 \cdot BK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC \cdot AB}{BK \cdot \sqrt{3}}$.

6) Заметим, что из подобия треугольников $BK = \frac{13}{4} CK$, тогда $BC^2 = (\frac{13}{4} CK)^2 + CK^2 + \frac{13}{4} CK^2 = \frac{237}{16} CK^2$.
Значит, $BC = \frac{\sqrt{237}}{4} CK$.
Подставим $BC$ и $BK$ в формулу для $R$:
$R = \frac{\frac{\sqrt{237}}{4} CK \cdot 39}{\frac{13}{4} CK \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{237} \cdot 39}{13 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 79} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{79}$.

7) Проверим вычисления через теорему косинусов в треугольнике $AKB$:
$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 AK \cdot BK \cos 60^\circ = AK^2 + BK^2 - AK \cdot BK$.
Используя $AK = \frac{13}{4} DK$ и $BK = \frac{13}{4} CK$:
$39^2 = (\frac{13}{4})^2 (DK^2 + CK^2 - DK \cdot CK)$.
Заметим, что в треугольнике $DKC$: $CD^2 = DK^2 + CK^2 - 2 DK \cdot CK \cos 60^\circ = DK^2 + CK^2 - DK \cdot CK$.
Тогда $39^2 = (\frac{13}{4})^2 \cdot 12^2$, что верно: $39 = \frac{13}{4} \cdot 12 = 39$.
Для нахождения $R$ используем формулу $R = \frac{\sqrt{AB^2 + CD^2 + AB \cdot CD}}{2 \sin(120^\circ)}$ (или аналогичную для вписанных четырёхугольников с углом между диагоналями):
$R^2 = \frac{AB^2 + CD^2 + 2 AB \cdot CD \cos(60^\circ)}{(2 \sin(60^\circ))^2}$ — это не совсем стандартная формула, вернемся к $R = \frac{BC}{\sin A}$.
В треугольнике $ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos(\angle BAC)$.
Более простым способом является формула: $R = \sqrt{\frac{AB^2 + CD^2 + 2 AB \cdot CD \cos(60^\circ)}{4 \sin^2(60^\circ)}}$.
$R^2 = \frac{39^2 + 12^2 + 39 \cdot 12}{4 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1521 + 144 + 468}{3} = \frac{2133}{3} = 711$.
$R = \sqrt{711} = \sqrt{9 \cdot 79} = 3\sqrt{79}$.

Ответ: $3\sqrt{79}$

Источник: ФИПИ