Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 19$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 7.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ . Так как $AD \parallel BC$ , то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$ . Следовательно, их сумма равна $180^\circ$ : $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) Так как $AK$ и $BK$ — биссектрисы, то $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$ . Сумма этих углов в треугольнике $ABK$ равна: $\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ . Значит, треугольник $ABK$ — прямоугольный ( $\angle AKB = 90^\circ$ ).

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH$ — перпендикуляр к стороне $AB$ , $KM$ — перпендикуляр к стороне $BC$ , а $KN$ — перпендикуляр к стороне $AD$ . По условию задачи $KH = 7$ .

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ . Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$ , то есть $KM = KH = 7$ .

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$ , то есть $KN = KH = 7$ .

6) Высота параллелограмма $h$ , опущенная на сторону $BC$ (или $AD$ ), представляет собой отрезок $MN$ , перпендикулярный этим параллельным прямым. Так как точки $M$ , $K$ и $N$ лежат на одной прямой (поскольку $KM \perp BC$ и $KN \perp AD$ , а $BC \parallel AD$ ), то высота $h = MN = KM + KN = 7 + 7 = 14$ .

7) Площадь параллелограмма $S$ находится по формуле $S = a \cdot h$ , где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне. В нашем случае $a = BC = 19$ , а $h = 14$ .
$S = 19 \cdot 14 = 266$ .

Ответ: 266

Источник: ФИПИ