Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) Так как $AK$ и $BK$ — биссектрисы, то $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$. Сумма этих углов в треугольнике $ABK$ равна: $\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Значит, треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB = 90^\circ$).

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH$ — перпендикуляр к стороне $AB$, $KM$ — перпендикуляр к стороне $BC$, а $KN$ — перпендикуляр к стороне $AD$. По условию задачи $KH = 7$.

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$, то есть $KM = KH = 7$.

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$, то есть $KN = KH = 7$.

6) Высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $BC$ (или $AD$), представляет собой отрезок $MN$, перпендикулярный этим параллельным прямым. Так как точки $M$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой (поскольку $KM \perp BC$ и $KN \perp AD$, а $BC \parallel AD$), то высота $h = MN = KM + KN = 7 + 7 = 14$.

7) Площадь параллелограмма $S$ находится по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне. В нашем случае $a = BC = 19$, а $h = 14$.
$S = 19 \cdot 14 = 266$.

Ответ: 266

Источник: ФИПИ