Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$, значит, треугольник $ABD$ является равнобедренным, так как его биссектриса $BO$ совпадает с высотой. Следовательно, $AB = BD$.

2) Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то $BD = DC$. Обозначим $AB = x$, тогда $BD = x$ и $BC = BD + DC = 2x$. Таким образом, сторона $BC$ в два раза больше стороны $AB$.

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому $AO = OD = \frac{1}{2} AD = \frac{32}{2} = 16$.

4) Рассмотрим треугольник $BCE$ и прямую $AD$. По теореме Менелая для треугольника $BCE$ и секущей $AD$ (точки $A, O, D$ лежат на одной прямой):
$\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EO}{OB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$.
Так как $D$ — середина $BC$, то $\frac{BD}{DC} = 1$. Тогда $\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EO}{OB} = 1$.
Заметим, что по свойству биссектрисы в треугольнике $ABC$: $\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. Значит, $EC = 2 AE$, а вся сторона $AC = AE + EC = 3 AE$. Отсюда $\frac{CA}{AE} = 3$.
Подставим это в уравнение Менелая: $3 \cdot \frac{EO}{OB} = 1$, откуда $OB = 3 EO$.

5) Так как $BE = BO + OE = 32$, подставим $BO = 3 EO$:
$3 EO + EO = 32 \Rightarrow 4 EO = 32 \Rightarrow EO = 8$.
Тогда $BO = 32 - 8 = 24$.

6) Из прямоугольного треугольника $AOB$ по теореме Пифагора найдем $AB$:
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{16^2 + 24^2} = \sqrt{256 + 576} = \sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13}$.
Тогда $BC = 2 AB = 16\sqrt{13}$.

7) Из прямоугольного треугольника $AOE$ найдем $AE$:
$AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{16^2 + 8^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$.
Так как $AC = 3 AE$, то $AC = 3 \cdot 8\sqrt{5} = 24\sqrt{5}$.

Ответ: $8\sqrt{13}$, $16\sqrt{13}$, $24\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ