Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим высоту $AD$ треугольника $ABC$. По условию точка $D$ лежит на стороне $BC$. Так как полуокружность построена на $BC$ как на диаметре, то центр этой окружности лежит на середине отрезка $BC$, а сама окружность проходит через точку $D$, так как угол, опирающийся на диаметр, должен быть прямым (но в данном случае $AD \perp BC$, значит $D$ — это точка на диаметре).

2. Точка $M$ лежит на высоте $AD$ и на полуокружности. Обозначим полуокружность как часть окружности $\omega$. По свойству пересекающихся хорд (или в данном случае секущей и хорды), если продолжить высоту $AD$ до пересечения с полной окружностью в точке $M'$, то точка $D$ будет серединой хорды $MM'$, так как диаметр $BC$ перпендикулярен хорде $MM'$. Однако проще воспользоваться свойством отрезков хорд. Пусть окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. Точка $D$ лежит на окружности. По свойству высоты прямоугольного треугольника или степени точки $A$ относительно окружности: отрезок $AM \cdot AM' = AP \cdot AB$. Но воспользуемся более прямым путем через подобие или свойства высот.

4. Пусть $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Известно свойство: произведение отрезков высот, на которые их делит ортоцентр, связано с описанной окружностью, но здесь окружность построена на стороне. Воспользуемся свойством: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$. Это следует из подобия прямоугольных треугольников $BDH$ и $ADC$ (у них $\angle HBD = \angle CAD$, так как они оба дополняют $\angle ACB$ до $90^\circ$).

5. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$. По свойству высоты $MD$ в прямоугольном треугольнике $BMC$ (где $\angle BMC = 90^\circ$, так как он опирается на диаметр), имеем: $MD^2 = BD \cdot DC$.

6. Из пунктов 4 и 5 получаем равенство: $AD \cdot HD = MD^2$.
Нам известны $AD = 90$ и $MD = 69$. Найдем $HD$:
$90 \cdot HD = 69^2$
$90 \cdot HD = 4761$
$HD = \frac{4761}{90} = 52,9$.

7. Отрезок $AH$ является частью высоты $AD$. Чтобы найти $AH$, нужно из всей длины высоты вычесть отрезок $HD$:
$AH = AD - HD$
$AH = 90 - 52,9 = 37,1$.

Ответ: 37,1

Источник: ФИПИ