Задание №25 — Геометрия

#48330Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

На стороне $B C$ остроугольного треугольника $A B C$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $A D$ в точке $M$ , $A D = 90$ , $M D = 69$ , $H$ $—$ точка пересечения высот треугольника $A B C$ . Найдите $A H$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим высоту $AD$ треугольника $ABC$ . По условию точка $D$ лежит на стороне $BC$ . Так как полуокружность построена на $BC$ как на диаметре, то центр этой окружности лежит на середине отрезка $BC$ , а сама окружность проходит через точку $D$ , так как угол, опирающийся на диаметр, должен быть прямым (но в данном случае $AD \perp BC$ , значит $D$ — это точка на диаметре).

2. Точка $M$ лежит на высоте $AD$ и на полуокружности. Обозначим полуокружность как часть окружности $\omega$ . По свойству пересекающихся хорд (или в данном случае секущей и хорды), если продолжить высоту $AD$ до пересечения с полной окружностью в точке $M'$ , то точка $D$ будет серединой хорды $MM'$ , так как диаметр $BC$ перпендикулярен хорде $MM'$ . Однако проще воспользоваться свойством отрезков хорд. Пусть окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ . Точка $D$ лежит на окружности. По свойству высоты прямоугольного треугольника или степени точки $A$ относительно окружности: отрезок $AM \cdot AM' = AP \cdot AB$ . Но воспользуемся более прямым путем через подобие или свойства высот.

4. Пусть $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Известно свойство: произведение отрезков высот, на которые их делит ортоцентр, связано с описанной окружностью, но здесь окружность построена на стороне. Воспользуемся свойством: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$ . Это следует из подобия прямоугольных треугольников $BDH$ и $ADC$ (у них $\angle HBD = \angle CAD$ , так как они оба дополняют $\angle ACB$ до $90^\circ$ ).

5. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$ . По свойству высоты $MD$ в прямоугольном треугольнике $BMC$ (где $\angle BMC = 90^\circ$ , так как он опирается на диаметр), имеем: $MD^2 = BD \cdot DC$ .

6. Из пунктов 4 и 5 получаем равенство: $AD \cdot HD = MD^2$ .
Нам известны $AD = 90$ и $MD = 69$ . Найдем $HD$ :
$90 \cdot HD = 69^2$
$90 \cdot HD = 4761$
$HD = \frac{4761}{90} = 52,9$ .

7. Отрезок $AH$ является частью высоты $AD$ . Чтобы найти $AH$ , нужно из всей длины высоты вычесть отрезок $HD$ :
$AH = AD - HD$
$AH = 90 - 52,9 = 37,1$ .

Ответ: 37,1

Источник: ФИПИ