Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим углы при основании $AD$: $\angle A = 77^{\circ}$ и $\angle D = 13^{\circ}$. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований.

2. Сумма углов при основании $AD$ равна $77^{\circ} + 13^{\circ} = 90^{\circ}$. Это важное свойство. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKD$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$, значит, $\angle K = 180^{\circ} - (77^{\circ} + 13^{\circ}) = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

3. Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Отрезок $KN$ является медианой прямоугольного треугольника $AKD$, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, $KN = \frac{1}{2} AD$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BKC$ (так как $BC \parallel AD$), отрезок $KM$ является медианой, и $KM = \frac{1}{2} BC$.

4. Точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований, равен $MN = KN - KM = \frac{1}{2} AD - \frac{1}{2} BC = \frac{AD - BC}{2}$.

5. Нам даны два отрезка: 11 и 10. Средняя линия трапеции всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в непараллелограммной трапеции). Средняя линия вычисляется по формуле $L = \frac{AD + BC}{2}$. Значит:
$\frac{AD + BC}{2} = 11$
$\frac{AD - BC}{2} = 10$

6. Составим систему уравнений:
$AD + BC = 22$
$AD - BC = 20$

7. Сложим эти уравнения: $2 \cdot AD = 42$, откуда $AD = 21$.
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 2$, откуда $BC = 1$.

Ответ: 1; 21

Источник: ФИПИ