Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Углы при одном из оснований трапеции равны $77 °$ и $13 °$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . Обозначим углы при основании $AD$ : $\angle A = 77^{\circ}$ и $\angle D = 13^{\circ}$ . Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований.

2. Сумма углов при основании $AD$ равна $77^{\circ} + 13^{\circ} = 90^{\circ}$ . Это важное свойство. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$ . Рассмотрим треугольник $AKD$ . Сумма его углов равна $180^{\circ}$ , значит, $\angle K = 180^{\circ} - (77^{\circ} + 13^{\circ}) = 90^{\circ}$ . Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

3. Пусть $M$ — середина основания $BC$ , а $N$ — середина основания $AD$ . Отрезок $KN$ является медианой прямоугольного треугольника $AKD$ , проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, $KN = \frac{1}{2} AD$ . Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BKC$ (так как $BC \parallel AD$ ), отрезок $KM$ является медианой, и $KM = \frac{1}{2} BC$ .

4. Точки $K$ , $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований, равен $MN = KN - KM = \frac{1}{2} AD - \frac{1}{2} BC = \frac{AD - BC}{2}$ .

5. Нам даны два отрезка: 11 и 10. Средняя линия трапеции всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в непараллелограммной трапеции). Средняя линия вычисляется по формуле $L = \frac{AD + BC}{2}$ . Значит:
$\frac{AD + BC}{2} = 11$
$\frac{AD - BC}{2} = 10$

6. Составим систему уравнений:
$AD + BC = 22$
$AD - BC = 20$

7. Сложим эти уравнения: $2 \cdot AD = 42$ , откуда $AD = 21$ .
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 2$ , откуда $BC = 1$ .

Ответ: 1; 21

Источник: ФИПИ