Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение, задающее функцию, и найдём её область определения.
Функция имеет вид: $y = \frac{4,5 |x| - 1}{|x| - 4,5 x^2}$.
Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда знаменатель можно переписать так: $|x| - 4,5 |x|^2$.
Вынесем $|x|$ за скобки в знаменателе: $y = \frac{4,5 |x| - 1}{|x|(1 - 4,5 |x|)}$.

2. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$;
$1 - 4,5 |x| \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{4,5} \Rightarrow |x| \neq \frac{2}{9} \Rightarrow x \neq \pm \frac{2}{9}$.

3. Сократим дробь. Заметим, что числитель $4,5 |x| - 1$ и множитель в знаменателе $1 - 4,5 |x|$ являются противоположными выражениями.
При $x \neq \pm \frac{2}{9}$ и $x \neq 0$ получаем:
$y = \frac{-(1 - 4,5 |x|)}{|x|(1 - 4,5 |x|)} = -\frac{1}{|x|}$.

4. Построим график функции $y = -\frac{1}{|x|}$ с учётом «выколотых» точек.
Если $x > 0$, то $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в IV четверти.
Если $x < 0$, то $y = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в III четверти.
График симметричен относительно оси $Oy$.
Найдём координаты «выколотых» точек:
При $x = \frac{2}{9}$, $y = -\frac{1}{2/9} = -4,5$. Точка $(\frac{2}{9}; -4,5)$.
При $x = -\frac{2}{9}$, $y = -\frac{1}{|-2/9|} = -4,5$. Точка $(-\frac{2}{9}; -4,5)$.

5. Определим значения $k$, при которых прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат.
— Прямая не имеет общих точек с графиком, если она проходит через «выколотые» точки:
1) $-4,5 = k \cdot \frac{2}{9} \Rightarrow k = -4,5 \cdot \frac{9}{2} = -20,25$.
2) $-4,5 = k \cdot (-\frac{2}{9}) \Rightarrow k = 4,5 \cdot \frac{9}{2} = 20,25$.
— Также прямая $y = kx$ не будет иметь общих точек с графиком, если уравнение $kx = -\frac{1}{|x|}$ не имеет решений.
Если $x > 0$, то $kx = -\frac{1}{x} \Rightarrow kx^2 = -1$. Это уравнение не имеет решений при $k \geq 0$.
Если $x < 0$, то $kx = \frac{1}{x} \Rightarrow kx^2 = 1$. Это уравнение не имеет решений при $k \leq 0$.
Следовательно, при $k = 0$ (прямая $y = 0$, ось $Ox$) решений нет.
Однако, при $k > 0$ прямая $y = kx$ обязательно пересечёт левую ветвь графика ($x < 0$), а при $k < 0$ — правую ветвь ($x > 0$).
Таким образом, единственное значение $k$ из этого условия, когда нет пересечений ни с одной ветвью — это $k = 0$.

Ответ: -20,25; 0; 20,25

Источник: ФИПИ