Задание №25 — Геометрия

#48333Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Четырёхугольник $A B C D$ со сторонами $A B = 12$ и $C D = 30$ вписан
в окружность. Диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $K$ ,
причём $\angle A K B = 60 °$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$ . Углы $BKC$ и $AKD$ вертикальны, поэтому $\angle BKC = \angle AKD$ . По условию $\angle AKB = 60^{\circ}$ , следовательно, $\angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (как смежные углы).

2) Заметим, что углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$ , значит, $\angle BAC = \angle BDC$ . Аналогично, углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$ , значит, $\angle ABD = \angle ACD$ . Таким образом, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам ( $\triangle AKB \sim \triangle DKC$ ).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$ . Подставим известные значения сторон: $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ . Пусть $AK = 2x$ , тогда $DK = 5x$ . Пусть $BK = 2y$ , тогда $CK = 5y$ .

4) Рассмотрим треугольник $AKD$ . В нём $\angle AKD = 120^{\circ}$ . По теореме косинусов для стороны $AD$ : $AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^{\circ})$ . Так как $\cos(120^{\circ}) = -0,5$ , получаем: $AD^2 = (2x)^2 + (5x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5x \cdot (-0,5) = 4x^2 + 25x^2 + 10x^2 = 39x^2$ . Отсюда $AD = x\sqrt{39}$ .

5) Рассмотрим треугольник $AKB$ . По теореме косинусов для стороны $AB$ : $AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos(60^{\circ})$ . $12^2 = (2x)^2 + (2y)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot 0,5$ . $144 = 4x^2 + 4y^2 - 4xy$ . Разделим на 4: $36 = x^2 + y^2 - xy$ .

6) Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABD$ . Радиус $R$ описанной около четырёхугольника окружности совпадает с радиусом окружности, описанной около $\triangle ABD$ . $R = \frac{AD}{2 \sin(\angle ABD)}$ . Из треугольника $ABK$ по теореме синусов: $\frac{AK}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(60^{\circ})}$ . Отсюда $\sin(\angle ABD) = \frac{AK \cdot \sin(60^{\circ})}{AB} = \frac{2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{12} = \frac{x\sqrt{3}}{12}$ .

7) Подставим выражение для синуса и $AD$ в формулу радиуса: $R = \frac{x\sqrt{39}}{2 \cdot \frac{x\sqrt{3}}{12}} = \frac{x\sqrt{39} \cdot 12}{2x\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{39}}{2\sqrt{3}} = 6\sqrt{13}$ .

Ответ: $6\sqrt{13}$

Источник: ФИПИ