Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BKC$ и $AKD$ вертикальны, поэтому $\angle BKC = \angle AKD$. По условию $\angle AKB = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (как смежные углы).

2) Заметим, что углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, значит, $\angle BAC = \angle BDC$. Аналогично, углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$, значит, $\angle ABD = \angle ACD$. Таким образом, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам ($\triangle AKB \sim \triangle DKC$).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK}$. Подставим известные значения сторон: $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$. Пусть $AK = 2x$, тогда $DK = 5x$. Пусть $BK = 2y$, тогда $CK = 5y$.

4) Рассмотрим треугольник $AKD$. В нём $\angle AKD = 120^{\circ}$. По теореме косинусов для стороны $AD$: $AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^{\circ})$. Так как $\cos(120^{\circ}) = -0,5$, получаем: $AD^2 = (2x)^2 + (5x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5x \cdot (-0,5) = 4x^2 + 25x^2 + 10x^2 = 39x^2$. Отсюда $AD = x\sqrt{39}$.

5) Рассмотрим треугольник $AKB$. По теореме косинусов для стороны $AB$: $AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos(60^{\circ})$. $12^2 = (2x)^2 + (2y)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot 0,5$. $144 = 4x^2 + 4y^2 - 4xy$. Разделим на 4: $36 = x^2 + y^2 - xy$.

6) Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABD$. Радиус $R$ описанной около четырёхугольника окружности совпадает с радиусом окружности, описанной около $\triangle ABD$. $R = \frac{AD}{2 \sin(\angle ABD)}$. Из треугольника $ABK$ по теореме синусов: $\frac{AK}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(60^{\circ})}$. Отсюда $\sin(\angle ABD) = \frac{AK \cdot \sin(60^{\circ})}{AB} = \frac{2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{12} = \frac{x\sqrt{3}}{12}$.

7) Подставим выражение для синуса и $AD$ в формулу радиуса: $R = \frac{x\sqrt{39}}{2 \cdot \frac{x\sqrt{3}}{12}} = \frac{x\sqrt{39} \cdot 12}{2x\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{39}}{2\sqrt{3}} = 6\sqrt{13}$.

Ответ: $6\sqrt{13}$

Источник: ФИПИ