Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение, задающее функцию. Заметим, что в формуле присутствует модуль. Вспомним определение модуля: $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем $\frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x}$:

1) Пусть $\frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x} \geq 0$.
Тогда модуль раскрывается с тем же знаком:
$y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x} + \frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{x}{2,5} \right) = \frac{x}{2,5} = 0,4x$.
Выясним, при каких $x$ это условие выполняется. Решим неравенство $\frac{x^2 - 2,5^2}{2,5x} \geq 0$, что эквивалентно $\frac{(x - 2,5)(x + 2,5)}{x} \geq 0$.
Методом интервалов получаем: $x \in [-2,5; 0) \cup [2,5; +\infty)$.

2) Пусть $\frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x} < 0$.
Тогда модуль раскрывается с противоположным знаком:
$y = \frac{1}{2} \left( -\left( \frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x} \right) + \frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x} + \frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{2,5}{x} \right) = \frac{2,5}{x}$.
Это условие выполняется при $x \in (-\infty; -2,5) \cup (0; 2,5)$.

Таким образом, функция задается кусочно:
$y = \begin{cases} 0,4x, & \text{если } x \in [-2,5; 0) \cup [2,5; +\infty) \\ \frac{2,5}{x}, & \text{если } x \in (-\infty; -2,5) \cup (0; 2,5) \end{cases}$

Построим график:
- На луче $[2,5; +\infty)$ это часть прямой $y = 0,4x$. При $x = 2,5$, $y = 1$.
- На полуинтервале $[-2,5; 0)$ это часть прямой $y = 0,4x$. При $x = -2,5$, $y = -1$. При приближении к $0$ слева значения $y$ стремятся к $0$.
- На луче $(-\infty; -2,5)$ это ветвь гиперболы $y = \frac{2,5}{x}$. При $x = -2,5$, $y = -1$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$.
- На интервале $(0; 2,5)$ это ветвь гиперболы $y = \frac{2,5}{x}$. При $x = 2,5$, $y = 1$. При приближении к $0$ справа значения $y$ неограниченно растут ($y \to +\infty$).

Теперь определим количество общих точек с горизонтальной прямой $y = m$:
- При $m < -1$ точек нет.
- При $m = -1$ график имеет одну точку (минимум в $(-2,5; -1)$).
- При $-1 < m < 0$ график имеет две точки (на прямой и на гиперболе слева).
- При $m = 0$ точек нет (точка $x=0$ выколота, а гипербола не пересекает ось $Ox$).
- При $0 < m < 1$ график имеет две точки (на прямой и на гиперболе справа).
- При $m = 1$ график имеет одну точку (излом в $(2,5; 1)$, так как левее $2,5$ гипербола уходит вверх, а правее прямая идет вверх).
- При $m > 1$ график имеет две точки (на гиперболе и на прямой в правой полуплоскости).

Следовательно, ровно одна общая точка будет при $m = -1$ и $m = 1$.

Ответ: -1; 1

Источник: ФИПИ