Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции. Рассмотрим треугольник $AKD$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle K = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

2) Так как $BC \parallel AD$, треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$. Значит, $BK = \frac{1}{3} AK$. Поскольку $AK = AB + BK$, подставим известные значения: $AK = 10 + \frac{1}{3} AK$. Отсюда $\frac{2}{3} AK = 10$, следовательно, $AK = 15$ и $BK = 15 - 10 = 5$.

3) Введем систему координат или воспользуемся свойствами окружности. Пусть окружность проходит через точки $A$ и $B$. Центр такой окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $M$ — середина $AB$, тогда $AM = MB = 5$. Расстояние от вершины $K$ до точки $M$ равно $KM = KB + BM = 5 + 5 = 10$.

4) Окружность касается прямой $CD$ (которая совпадает с прямой $KD$). Пусть $T$ — точка касания. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки ($K$), квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть: $KT^2 = KB \cdot KA$. Подставим значения: $KT^2 = 5 \cdot 15 = 75$, откуда $KT = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

5) Пусть $R$ — радиус окружности. Центр $O$ находится на расстоянии $R$ от точки касания $T$, причём $OT \perp KD$. Также $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Проведем из $O$ перпендикуляр $OH$ к прямой $KA$. Тогда $MH = OT = R$ (так как $OT \perp KD$ и $KA \perp KD$, фигура $MHTO$ — прямоугольник, если расположить оси вдоль катетов). Координаты центра $O$ в системе с началом в $K$ и осями вдоль $KA$ и $KD$: $O(x; y)$. $x = KM = 10$. Расстояние от $O$ до прямой $KD$ равно $x = 10$, но это неверно, так как $OT$ — радиус. Правильнее: в прямоугольном треугольнике $OM B$ по теореме Пифагора $OB^2 = OM^2 + MB^2$, то есть $R^2 = OM^2 + 5^2$. Расстояние от $O$ до прямой $KD$ равно $R$. Это расстояние равно координате $x$ центра $O$ относительно прямой $KD$. Заметим, что $OM$ параллельна $KD$. Расстояние от $M$ до прямой $KD$ равно $KT = 5\sqrt{3}$. Тогда расстояние от $O$ до $KD$ равно $|5\sqrt{3} \pm OM| = R$.

6) Рассмотрим уравнение: $OM^2 = R^2 - 25$. Тогда $OM = \sqrt{R^2 - 25}$. Подставим в зависимость расстояний: $R = |5\sqrt{3} - \sqrt{R^2 - 25}|$ (так как центр смещен внутрь угла). Возведем в квадрат: $R^2 = 75 - 10\sqrt{3}\sqrt{R^2 - 25} + R^2 - 25$. $10\sqrt{3}\sqrt{R^2 - 25} = 50$. $\sqrt{3}\sqrt{R^2 - 25} = 5$. Возводим в квадрат еще раз: $3(R^2 - 25) = 25$. $3R^2 - 75 = 25$. $3R^2 = 100$. $R^2 = \frac{100}{3}$. $R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Источник: ФИПИ