Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка касания окружности с лучом $AB$. По теореме о квадрате касательной, если из одной точки ($A$) проведены касательная ($AK$) и секущая ($AMN$), то квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей:
$AK^2 = AM \cdot AN$.
По условию $AM = 4$ и $AN = 15$. Подставим значения:
$AK^2 = 4 \cdot 15 = 60$, откуда $AK = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$.

2) Рассмотрим треугольник $AMK$. Применим теорему косинусов, чтобы найти длину хорды $MK$:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$.
Подставим известные величины:
$MK^2 = 4^2 + (2\sqrt{15})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$
$MK^2 = 16 + 60 - 4 \cdot 15 = 76 - 60 = 16$.
Следовательно, $MK = \sqrt{16} = 4$.

3) Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 4$ и $MK = 4$. Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный с основанием $AK$. Углы при основании равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Нам дан $\cos \angle MAK = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество:
$\sin \angle MAK = \sqrt{1 - \cos^2 \angle MAK} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.

4) Рассмотрим окружность, проходящую через точки $M, N, K$. Угол между касательной $AK$ и хордой $MK$ равен половине дуги $MK$, которую он заключает. В то же время вписанный угол $MNK$ (или $\angle KNM$), опирающийся на ту же дугу, также равен половине этой дуги.
Значит, $\angle KNM = \angle MKA$.
Так как $\angle MKA = \angle MAK$ (из равнобедренного треугольника $AMK$), то $\angle KNM = \angle MAK$.
Следовательно, $\sin \angle KNM = \sin \angle MAK = \frac{1}{4}$.

5) В треугольнике $KNM$ нам известна сторона $MK = 4$ и синус противолежащего ей угла $\angle KNM = \frac{1}{4}$. По теореме синусов радиус $R$ описанной окружности равен:
$R = \frac{MK}{2 \sin \angle KNM} = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4}{0,5} = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ