Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Вписанные углы $BAC$ и $BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, поэтому $\angle BAC = \angle BDC$. Аналогично, вписанные углы $ABD$ и $ACD$ опираются на дугу $AD$, значит, $\angle ABD = \angle ACD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$. Подставим известные значения сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5,5$. Обозначим $DK = x$, тогда $AK = 5,5x$. Обозначим $CK = y$, тогда $BK = 5,5y$.

3) Рассмотрим треугольник $AKB$. По условию $\angle AKB = 60^{\circ}$. Применим теорему косинусов для стороны $AB$: $AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos 60^{\circ}$. $44^2 = (5,5x)^2 + (5,5y)^2 - 2 \cdot 5,5x \cdot 5,5y \cdot \frac{1}{2}$. $1936 = 30,25x^2 + 30,25y^2 - 30,25xy$. Разделим обе части уравнения на $30,25$: $64 = x^2 + y^2 - xy$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ является смежным с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Применим теорему косинусов для стороны $BC$ в треугольнике $BKC$: $BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos 120^{\circ}$. Так как $\cos 120^{\circ} = -0,5$, получаем: $BC^2 = (5,5y)^2 + y^2 - 2 \cdot 5,5y \cdot y \cdot (-0,5) = 30,25y^2 + y^2 + 5,5y^2 = 36,75y^2$. Этот путь через $x$ и $y$ сложен, воспользуемся более простым свойством.

5) Заметим, что радиус $R$ описанной окружности четырёхугольника $ABCD$ совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов для треугольника $ABC$: $2R = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$. Однако нам удобнее рассмотреть треугольник $BCD$. По теореме синусов для треугольника $BCD$: $2R = \frac{CD}{\sin \angle CBD}$.

6) Пусть $\angle CAD = \angle CBD = \alpha$ (как вписанные углы). В треугольнике $AKD$ угол $\angle AKB = 60^{\circ}$ является внешним, значит $\angle KAD + \angle KDA = 60^{\circ}$. Воспользуемся обобщенной теоремой синусов. В любом вписанном четырехугольнике расстояние между точками пересечения диагоналей и сторонами связано с радиусом. Существует формула: $AB^2 + CD^2 + 2 \cdot AB \cdot CD \cdot \cos(\angle AKB) = (2R \cdot \sin(\angle AKB))^2$. Подставим значения: $44^2 + 8^2 + 2 \cdot 44 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} = (2R \cdot \sin 60^{\circ})^2$. $1936 + 64 + 2 \cdot 352 \cdot 0,5 = (2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2$. $2000 + 352 = (R\sqrt{3})^2$. $2352 = 3R^2$. $R^2 = \frac{2352}{3} = 784$. $R = \sqrt{784} = 28$.

Ответ: 28

Источник: ФИПИ