Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. Пусть эта полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BPC$ и $\angle BKC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^\circ$).

2) Отрезки $CP$ и $BK$ являются высотами треугольника $ABC$, так как они перпендикулярны сторонам $AB$ и $AC$. По условию $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Значит, точка $H$ лежит на пересечении $AD$, $BK$ и $CP$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDH$ и прямоугольный треугольник $ADC$. У них общий острый угол $\angle DAC$ (или заметим подобие через углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Точнее, $\angle HBC = \angle HAC$, так как они оба дополняют угол $C$ до $90^\circ$ в прямоугольных треугольниках $BKC$ и $ADC$.
Из подобия треугольников $BDH$ и $ADC$ (по двум углам: $\angle D = 90^\circ$ и $\angle HBD = \angle CAD$) следует отношение сторон:
$\frac{BD}{AD} = \frac{DH}{DC}$, откуда $BD \cdot DC = AD \cdot DH$.

4) Воспользуемся свойством пересекающихся хорд (или свойством секущей и касательной, примененным к окружности). Точка $D$ лежит на диаметре $BC$, а отрезок $MD$ перпендикулярен $BC$. Если мы мысленно достроим полуокружность до полной окружности, то хорда, содержащая $MD$, будет точкой $D$ делиться на два равных отрезка (так как диаметр $BC$ перпендикулярен этой хорде). Пусть вторая точка пересечения — $M'$, тогда $MD = DM'$.
По свойству пересекающихся хорд ($BC$ и $MM'$):
$BD \cdot DC = MD \cdot DM'$.
Так как $MD = DM'$, получаем: $BD \cdot DC = MD^2$.

5) Приравняем выражения для $BD \cdot DC$ из пунктов 3 и 4:
$AD \cdot DH = MD^2$.

6) Из условия задачи нам известны $AD = 49$ и $MD = 42$. Подставим их в уравнение:
$49 \cdot DH = 42^2$,
$49 \cdot DH = 1764$,
$DH = \frac{1764}{49} = 36$.

7) Отрезок $AH$ можно найти как разность длин высоты $AD$ и её части $DH$:
$AH = AD - DH$,
$AH = 49 - 36 = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ