Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Раскроем модуль.

1) При $x\ge 0$: $y=x(x+2)-3x=x^2-x$. Это часть параболы ветвями вверх с вершиной $x_0=0,5$, $y_0=0,25-0,5=-0,25$, то есть $(0,5;-0,25)$; нули $x=0$ и $x=1$.

2) При $x<0$: $y=-x(x+2)-3x=-x^2-5x$. Это часть параболы ветвями вниз с вершиной $x_0=-2,5$, $y_0=-6,25+12,5=6,25$, то есть $(-2,5;6,25)$; нули $x=0$ и $x=-5$.

В точке $x=0$ части стыкуются: обе дают $y=0$, график непрерывен. Левее производная $-2x-5\big|_{0}=-5<0$, правее $2x-1\big|_{0}=-1<0$ — функция в точке $(0;0)$ убывает (это не экстремум).

Опишем график целиком: при $x\to-\infty$ $y\to-\infty$; функция возрастает до локального максимума $(-2,5;6,25)$, затем убывает, проходит через $(0;0)$ и достигает локального минимума $(0,5;-0,25)$, после чего возрастает до $+\infty$.

Подсчитаем число общих точек с прямой $y=m$:
— при $m<-0,25$ — 1 точка (на левой возрастающей ветви);
— при $m=-0,25$ — 2 точки (касание в минимуме $(0,5;-0,25)$ и точка на левой ветви);
— при -0,25 — при \(m=6,25 — 2 точки (касание в максимуме $(-2,5;6,25)$ и точка на правой ветви);
— при $m>6,25$ — 1 точка (на правой возрастающей ветви).

Значит, ровно две общие точки получаются только при $m=-0,25$ и $m=6,25$. Значение $m=0$ даёт три точки, а не две.

Ответ: $-0,25;\ 6,25$