Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 40 : 2 = 20$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Пусть эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

2) Рассмотрим треугольник $MDK$. По условию $DK$ — биссектриса угла $ADC$, значит, $\angle ADK = \angle KDC$. Так как $MK \parallel AD$, то $\angle ADK = \angle MKD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей $DK$. Следовательно, $\angle KDC = \angle MKD$, и треугольник $MKD$ является равнобедренным с основанием $DK$. Отсюда $MK = KD$.

3) Так как $MK$ — средняя линия трапеции, точка $K$ является серединой стороны $CD$. Значит, $KD = CD : 2 = 41 : 2 = 20,5$. Тогда и средняя линия $MK = 20,5$.

4) Используем формулу средней линии трапеции: $MK = \frac{BC + AD}{2}$. Подставим известные значения: $20,5 = \frac{16 + AD}{2}$. Отсюда $41 = 16 + AD$, следовательно, нижнее основание $AD = 41 - 16 = 25$.

5) Для нахождения площади трапеции нужно найти её высоту. Проведём высоты $BH$ и $CE$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$. Тогда $ED = AD - BC - x = 25 - 16 - x = 9 - x$. Высота $h = BH = CE$. По теореме Пифагора из треугольников $ABH$ и $DCE$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 40^2 - x^2$
$h^2 = CD^2 - ED^2 = 41^2 - (9 - x)^2$

6) Приравняем выражения для $h^2$:
$1600 - x^2 = 1681 - (81 - 18x + x^2)$
$1600 - x^2 = 1681 - 81 + 18x - x^2$
$1600 = 1600 + 18x$
$18x = 0$, откуда $x = 0$.
Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и трапеция является прямоугольной. Тогда высота $h = AB = 40$.

7) Найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$:
$S = \frac{16 + 25}{2} \cdot 40 = 20,5 \cdot 40 = 820$.

Ответ: 820

Источник: ФИПИ