Задание №22 — Функции

Решение.

Рассмотрим функцию на каждом промежутке.

1) При $x<3$: $y=x-4$ — луч (без концевой точки при $x=3$). При $x=0$ $y=-4$; при $x\to 3^-$ $y\to -1$. На этом луче $y<-1$, причём $y\to-\infty$ при $x\to-\infty$.

2) При $3\le x\le 4$: $y=-1,5x+4,5$ — отрезок от $(3;0)$ до $(4;-1,5)$.

3) При $x>4$: $y=1,5x-7,5$ — луч из точки $(4;-1,5)$ (не включая её) вверх до $+\infty$; при $x=5$ $y=0$.

В точке $x=3$ — разрыв: слева $y\to-1$, а значение второй части равно $0$. В точке $x=4$ вторая и третья части стыкуются в $(4;-1,5)$ — это «вершина» (минимум) уголка.

Заметим, что левый луч $y=x-4$ уходит вниз в $-\infty$, поэтому при малых $m$ он всегда даёт одну точку.

Подсчитаем число общих точек с прямой $y=m$ (по вкладам частей: часть 1 даёт точку при $m<-1$; часть 2 — при $-1,5\le m\le 0$; часть 3 — при $m>-1,5$):
— при $m<-1,5$: 1 точка (только часть 1);
— при $m=-1,5$: 2 точки (часть 1 и вершина $(4;-1,5)$);
— при -1,5 — при \(m=-1: 2 точки (части 2 и 3; часть 1 не даёт точку, так как $x=3$ не входит);
— при -1 — при \(m=0: 2 точки (часть 2 в $(3;0)$ и часть 3 в $(5;0)$);
— при $m>0$: 1 точка (только часть 3).

Ровно две общие точки получаются при $m=-1,5$ и при $-1\le m\le 0$.

Ответ: $m=-1,5$ или $-1\le m\le 0$; то есть $\{-1,5\}\cup[-1;\,0]$