Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $\angle BAC = \alpha$. Проведём касательную к описанной окружности в точке $A$. Обозначим её $AK$. По свойству касательной, радиус $AO$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной ($AO \perp AK$).

2) По условию прямая $BD$ также перпендикулярна $AO$. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $BD \parallel AK$.

3) Угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$. В то же время вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$. Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$.

4) Так как $AK \parallel BD$, то накрест лежащие углы при пересечении этих прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$. Таким образом, $\angle ABD = \angle ACB$.

5) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$. У них:
— угол $A$ общий ($\angle BAD = \angle CAB$);
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$).

6) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Подставим известные значения сторон $AB = 40$ и $AC = 64$:
$\frac{40}{64} = \frac{AD}{40}$.
Выразим $AD$:
$AD = \frac{40 \cdot 40}{64} = \frac{1600}{64} = 25$.

7) Отрезок $CD$ является частью стороны $AC$. Найдем его длину как разность:
$CD = AC - AD = 64 - 25 = 39$.

Ответ: 39

Источник: ФИПИ