Задание №25 — Геометрия

#48343Задание №25ФИПИ

Треугольник

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 18$ , $A C = 36$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $\angle BAC = \alpha$ . Проведём касательную $AK$ к описанной окружности в точке $A$ . По свойству угла между касательной и хордой, угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть $\angle KAB = \angle ACB$ .

2) Радиус $AO$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $AK$ . По условию прямая $BD$ также перпендикулярна $AO$ . Следовательно, прямые $AK$ и $BD$ параллельны (как две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой $AO$ ).

3) Так как $AK \parallel BD$ , то накрест лежащие углы при пересечении этих прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$ . Из первого пункта мы знаем, что $\angle KAB = \angle ACB$ . Значит, $\angle ABD = \angle ACB$ .

4) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$ . У них:
— угол $\angle A$ общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ).

5) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ .
Подставим известные значения сторон $AB = 18$ и $AC = 36$ :
$\frac{18}{36} = \frac{AD}{18}$ .
$\frac{1}{2} = \frac{AD}{18}$ .
Отсюда $AD = \frac{18 \cdot 1}{2} = 9$ .

6) Отрезок $CD$ является частью стороны $AC$ . Чтобы найти его длину, нужно из длины всей стороны $AC$ вычесть длину отрезка $AD$ :
$CD = AC - AD = 36 - 9 = 27$ .

Ответ: 27

Источник: ФИПИ