Задание №25 — Геометрия

#48344Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $A C$ треугольника $A B C$ на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины $A$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $A B$ , если $cos \angle B A C = \frac{\sqrt{11}}{6}$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Пусть окружность проходит через точки $M$ и $N$ , лежащие на стороне $AC$ , и касается луча $AB$ в некоторой точке $K$ . По условию задачи $AM = 36$ , $AN = 44$ . Точки лежат на одной прямой в порядке $A$ , $M$ , $N$ , так как $36 < 44$ .

2. Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
Подставим значения: $AK^2 = 36 \cdot 44 = 36 \cdot 4 \cdot 11 = 144 \cdot 11$ .
Отсюда $AK = \sqrt{144 \cdot 11} = 12\sqrt{11}$ .

3. Рассмотрим треугольник $AMK$ . По теореме косинусов найдем сторону $MK$ :
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$
$MK^2 = 36^2 + (12\sqrt{11})^2 - 2 \cdot 36 \cdot 12\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$
$MK^2 = 1296 + 1584 - 2 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 11$
$MK^2 = 2880 - 1584 = 1296$
Следовательно, $MK = \sqrt{1296} = 36$ .

4. Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 36$ и $MK = 36$ . Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный, и углы при основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$ .
Пусть $\angle BAC = \alpha$ . Тогда $\angle MKA = \alpha$ .

5. По свойству угла между касательной и хордой: угол между касательной $AK$ и хордой $MK$ равен половине дуги $MK$ , которую эта хорда стягивает. На эту же дугу опирается вписанный угол $MNK$ . Значит, $\angle MNK = \angle MKA = \alpha$ .

6. Теперь рассмотрим треугольник $KNM$ . В нём нам известна сторона $MN = AN - AM = 44 - 36 = 8$ и угол $\angle KNM = \alpha$ . Также нам известно, что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$ . Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$
Так как угол треугольника лежит в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ , то $\sin \alpha = \frac{5}{6}$ .

7. По теореме синусов для треугольника $KNM$ , радиус $R$ описанной около него окружности (которая и является искомой окружностью) равен:
$2R = \frac{MK}{\sin \angle MNK}$
$2R = \frac{36}{5/6} = \frac{36 \cdot 6}{5} = \frac{216}{5} = 43,2$
$R = \frac{43,2}{2} = 21,6$ .

Ответ: 21,6

Источник: ФИПИ