Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка касания окружности с лучом $AB$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат расстояния от точки $A$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей:
$AK^2 = AM \cdot AN$.
Подставим данные значения: $AK^2 = 9 \cdot 32 = 288$.
Отсюда $AK = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.

2) Рассмотрим треугольник $AMK$. По теореме косинусов найдём длину стороны $MK$:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$.
Подставим значения:
$MK^2 = 9^2 + (12\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$MK^2 = 81 + 288 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$
$MK^2 = 369 - 2 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 4 = 369 - 288 = 81$.
Следовательно, $MK = \sqrt{81} = 9$.

3) Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 9$ и $MK = 9$. Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный, и углы при его основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Найдём синус угла $A$ через основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
Так как угол $A$ — угол треугольника, его синус положителен: $\sin \angle BAC = \frac{1}{3}$.

4) По свойству угла между касательной $AK$ и хордой $KN$, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $KN$. Пусть этот угол равен $\alpha$. Однако нам удобнее воспользоваться теоремой синусов для треугольника $AKN$, чтобы найти радиус $R$ описанной окружности около треугольника $MKN$ (это и есть искомая окружность).
Сначала найдём $KN$ из треугольника $AKN$ по теореме косинусов:
$KN^2 = AN^2 + AK^2 - 2 \cdot AN \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$
$KN^2 = 32^2 + (12\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 32 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$KN^2 = 1024 + 288 - 2 \cdot 32 \cdot 4 \cdot 4 = 1312 - 1024 = 288$.
Значит, $KN = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.

5) Теперь рассмотрим треугольник $MKN$. Мы знаем все его стороны: $MK = 9$, $KN = 12\sqrt{2}$, $MN = AN - AM = 32 - 9 = 23$.
Найдём косинус угла $\angle KMN$ (смежного с углом $\angle AMK$). В равнобедренном треугольнике $AMK$ углы при основании равны $\alpha$. Тогда $\angle KMN = 180^\circ - \angle AMK$.
По теореме синусов для треугольника $MKN$: $R = \frac{KN}{2 \sin \angle KMN}$.
Угол $\angle AMK = \angle MAK$ (так как треугольник $AMK$ равнобедренный). Значит, $\sin \angle KMN = \sin(180^\circ - \angle AMK) = \sin \angle AMK = \sin \angle BAC = \frac{1}{3}$.

6) Вычисляем радиус:
$R = \frac{KN}{2 \sin \angle KMN} = \frac{12\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{12\sqrt{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{12\sqrt{2} \cdot 3}{2} = 18\sqrt{2}$.

Ответ: $18\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ