Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала построим график вспомогательной функции $y = x^{2} + 2x - 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Найдем координаты вершины параболы по формулам:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$;
$y_{0} = (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Вершина находится в точке $(-1; -4)$.

2. Найдем точки пересечения параболы с осями координат:
С осью $Oy$ (при $x = 0$): $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
С осью $Ox$ (при $y = 0$): $x^{2} + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета корни уравнения: $x_{1} = -3$, $x_{2} = 1$. Точки $(-3; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Построим график исходной функции $y = |x^{2} + 2x - 3|$.
Для этого часть параболы, лежащую ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), нужно зеркально отразить относительно этой оси вверх. Часть графика, лежащая выше оси $Ox$, остается без изменений.
Таким образом, вершина параболы $(-1; -4)$ перейдет в точку $(-1; 4)$. График будет иметь вид "W-образной" кривой, касающейся оси $Ox$ в точках $-3$ и $1$.

4. Исследуем количество общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс. Такая прямая задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
— Если $c < 0$, общих точек нет.
— Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$ и имеет 2 общие точки (корни уравнения).
— Если $0 < c < 4$, прямая пересекает график в 4 точках.
— Если $c = 4$, прямая проходит через отраженную вершину и имеет 3 общие точки.
— Если $c > 4$, прямая имеет 2 общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ