Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение, задающее функцию. Заметим, что оно содержит модуль. Вспомним определение модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем $\frac{x}{3} - \frac{3}{x}$:

1) Пусть $\frac{x}{3} - \frac{3}{x} \ge 0$.
Тогда $| \frac{x}{3} - \frac{3}{x} | = \frac{x}{3} - \frac{3}{x}$.
Подставим это в формулу функции:
$y = \frac{1}{2} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x} + \frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{x}{3}$.
Выясним, при каких $x$ это условие выполняется: $\frac{x^2 - 9}{3x} \ge 0$.
Методом интервалов находим: $x \in [-3; 0) \cup [3; +\infty)$.

2) Пусть $\frac{x}{3} - \frac{3}{x} < 0$.
Тогда $| \frac{x}{3} - \frac{3}{x} | = -(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$.
Подставим в формулу:
$y = \frac{1}{2} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{x} = \frac{3}{x}$.
Это условие выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Таким образом, функция задаётся кусочно:
$y = \frac{x}{3}$, если $x \in [-3; 0) \cup [3; +\infty)$;
$y = \frac{3}{x}$, если $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Построим график:
- На луче $(-\infty; -3)$ строим гиперболу $y = \frac{3}{x}$. При $x = -3$ значение $y = -1$.
- На полуинтервале $[-3; 0)$ строим прямую $y = \frac{x}{3}$. При $x = -3$ значение $y = -1$.
- На интервале $(0; 3)$ строим гиперболу $y = \frac{3}{x}$. При $x = 3$ значение $y = 1$.
- На луче $[3; +\infty)$ строим прямую $y = \frac{x}{3}$. При $x = 3$ значение $y = 1$.

График состоит из двух ветвей. В левой полуплоскости ($x < 0$) график идёт от $0$ вниз до точки $(-3; -1)$ и затем стремится к $0$ вдоль оси $x$. В правой полуплоскости ($x > 0$) график убывает от $+\infty$ до точки $(3; 1)$ и затем возрастает по прямой $y = \frac{x}{3}$.

Определим количество общих точек с прямой $y = m$:
- При $m < -1$ точек нет.
- При $m = -1$ одна общая точка (вершина "уголка" слева).
- При $-1 < m < 0$ две точки (на гиперболе и на прямой слева).
- При $m = 0$ точек нет (асимптота гиперболы и выколотая точка прямой).
- При $0 < m < 1$ точек нет (график справа начинается от $y = 1$).
- При $m = 1$ одна общая точка (минимум правой ветви в точке $(3; 1)$).
- При $m > 1$ две точки (на гиперболе и на прямой справа).

Ровно одна общая точка получается при $m = -1$ и $m = 1$.

Ответ: -1; 1

Источник: ФИПИ