Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция содержит дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю:
$x^2 + x \neq 0$
$x(x + 1) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
Значит, область определения функции — все числа, кроме $0$ и $-1$.

2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель дроби на множители и сократим выражение:
$y = -4 - \frac{x + 1}{x(x + 1)}$
При условии $x \neq -1$ мы можем сократить дробь на $(x + 1)$:
$y = -4 - \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -\frac{1}{x} - 4$, за исключением точки с абсциссой $x = -1$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -\frac{1}{x} - 4$ является гипербола, полученная сдвигом стандартной гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ на $4$ единицы вниз вдоль оси $Oy$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = 0$ (ось $Oy$) и горизонтальная $y = -4$.
Найдём координаты "выколотой" точки: подставим $x = -1$ в упрощённое уравнение:
$y(-1) = -4 - \frac{1}{-1} = -4 + 1 = -3$.
Точка $(-1; -3)$ будет отсутствовать на графике.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. В нашем случае это прямая $y = -4$. Значит, $m = -4$.
2) Если прямая проходит через "выколотую" точку графика. Мы нашли, что координата этой точки по оси $y$ равна $-3$. Значит, при $m = -3$ прямая $y = -3$ не пересечёт график.

Ответ: -4; -3

Источник: ФИПИ